Um objeto se move no plano xy. As coordenadas x e y do objeto como função do tempo são dadas por: x(t)=4,9 t^2+2 t+1 e y(t)=3 t+2. Qual é o vetor velocidade do objeto como função do tempo? Qual é o seu vator aceleração em t=2 s ?

Passo 1

Resumo da Questão:
Temos um objeto que se move no plano xy, onde as posições nas coordenadas x e y dependem do tempo $ t $ segundo as funções:
t
x(t) = 4,9 t^2 + 2 t + 1
Precisamos encontrar dois coisas:
  1. O vetor velocidade do objeto em função do tempo.
  2. O vetor aceleração do objeto no instante $ t = 2 $ segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas das funções que descrevem a posição.

Passo 2

Entendendo o Vetor Velocidade:
O vetor velocidade de um objeto é dado pela derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos $ \vec{r}(t) = (x(t), y(t)) $, então:
r(t) = (x(t), y(t))
Então, vamos calcular $ \frac{dx(t)}{dt} $ e $ \frac{dy(t)}{dt} $.

Passo 3

Calculando a Derivada de $ x(t) $:
Dada a função:
x(t)
A derivada em relação ao tempo $ t $ é:
x(t) = 4,9 t^2 + 2 t + 1

Passo 4

Calculando a Derivada de $ y(t) $:
Dada a função:
y(t)
A derivada em relação ao tempo $ t $ é:
y(t) = 3 t + 2
Isso significa que a velocidade na direção y é constante.

Passo 5

Expressando o Vetor Velocidade:
Com as derivadas calculadas, o vetor velocidade $ \vec{v}(t) $ fica:
v(t)
Isso nos dá a velocidade do objeto em qualquer instante $ t $.

Passo 6

Entendendo o Vetor Aceleração:
O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja:
a(t) = dv(t)dt = ( ddt(9,8 t + 2), ddt(3) )
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 7

Calculando a Derivada de $ v_x(t) $:
vx(t)
A aceleração na direção x é constante.

Passo 8

Calculando a Derivada de $ v_y(t) $:
vy(t)
A aceleração na direção y é zero, já que a velocidade nessa direção é constante.

Passo 9

Expressando o Vetor Aceleração:
Com as derivadas calculadas, o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $ fica:
a(t)
Isso significa que a aceleração é constante e só existe na direção x.

Passo 10

Calculando a Aceleração em $ t = 2 $ segundos:
Como o vetor aceleração é constante, temos:
t = 2

Resposta

O vetor velocidade do objeto em função do tempo é $ \vec{v}(t) = (9,8,t + 2,\ 3) $ e o vetor aceleração no instante $ t = 2 $ segundos é $ \vec{a}(2) = (9,8,\ 0) $.

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