Um objeto se move no plano xy. As coordenadas x e y do objeto como função do tempo são dadas por:
e
. Qual é o vetor velocidade do objeto como função do tempo? Qual é o seu vator aceleração em
?
Passo 1
Resumo da Questão:
Temos um objeto que se move no plano xy, onde as posições nas coordenadas x e y dependem do tempo $ t $ segundo as funções:
Temos um objeto que se move no plano xy, onde as posições nas coordenadas x e y dependem do tempo $ t $ segundo as funções:
Precisamos encontrar dois coisas:
- O vetor velocidade do objeto em função do tempo.
- O vetor aceleração do objeto no instante $ t = 2 $ segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas das funções que descrevem a posição.
Passo 2
Entendendo o Vetor Velocidade:
O vetor velocidade de um objeto é dado pela derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos $ \vec{r}(t) = (x(t), y(t)) $, então:
O vetor velocidade de um objeto é dado pela derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos $ \vec{r}(t) = (x(t), y(t)) $, então:
Então, vamos calcular $ \frac{dx(t)}{dt} $ e $ \frac{dy(t)}{dt} $.
Passo 3
Calculando a Derivada de $ x(t) $:
Dada a função:
Dada a função:
A derivada em relação ao tempo $ t $ é:
Passo 4
Calculando a Derivada de $ y(t) $:
Dada a função:
Dada a função:
A derivada em relação ao tempo $ t $ é:
Isso significa que a velocidade na direção y é constante.
Passo 5
Expressando o Vetor Velocidade:
Com as derivadas calculadas, o vetor velocidade $ \vec{v}(t) $ fica:
Com as derivadas calculadas, o vetor velocidade $ \vec{v}(t) $ fica:
Isso nos dá a velocidade do objeto em qualquer instante $ t $.
Passo 6
Entendendo o Vetor Aceleração:
O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja:
O vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 7
Calculando a Derivada de $ v_x(t) $:
A aceleração na direção x é constante.
Passo 8
Calculando a Derivada de $ v_y(t) $:
A aceleração na direção y é zero, já que a velocidade nessa direção é constante.
Passo 9
Expressando o Vetor Aceleração:
Com as derivadas calculadas, o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $ fica:
Com as derivadas calculadas, o vetor aceleração $ \vec{a}(t) $ fica:
Isso significa que a aceleração é constante e só existe na direção x.
Passo 10
Calculando a Aceleração em $ t = 2 $ segundos:
Como o vetor aceleração é constante, temos:
Como o vetor aceleração é constante, temos:
Resposta
O vetor velocidade do objeto em função do tempo é $ \vec{v}(t) = (9,8,t + 2,\ 3) $ e o vetor aceleração no instante $ t = 2 $ segundos é $ \vec{a}(2) = (9,8,\ 0) $.