No ar existem dois elementos de corrente I d l1=4 barax-5 baray+5 baraz (Am) no ponto R 1(x=3 cm ; y=5 cm ; z=3 cm) e I d l2=2 barax-3 baray+5 baraz (Am) no ponto R 2(x=3 cm; y=4 cm ; z=4 cm ). Determine: (a) a densidade de fluxo barB12 produzida pelo elemento 1 sobre o elemento 2 , (b) a força magnética barF21 produzida pelo elemento 2 sobre o elemento 1. (2,5pto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de magnetismo, mais especificamente sobre como dois elementos de corrente interagem no espaço. Vamos precisar entender como calcular o campo magnético produzido por um elemento de corrente em um ponto específico e, depois, como esse campo gera uma força magnética sobre o outro elemento de corrente. Para isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart para encontrar o campo magnético e a fórmula da força magnética $ \vec{F} = I , \vec{dl} \times \vec{B} $ para achar a força resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • Elemento 1:
    • Corrente: $ I , \vec{dl}_1 = 4, \hat{a}_x - 5, \hat{a}_y + 5, \hat{a}_z $ (A.m)
    • Posição: $ R_1 = (3, cm; 5, cm; 3, cm) $
  • Elemento 2:
    • Corrente: $ I , \vec{dl}_2 = 2, \hat{a}_x - 3, \hat{a}_y + 5, \hat{a}_z $ (A.m)
    • Posição: $ R_2 = (3, cm; 4, cm; 4, cm) $
Queremos encontrar:
a) Densidade de fluxo magnético $ \vec{B}{12} $ produzida pelo elemento 1 no elemento 2.
b) Força magnética $ \vec{F}
{21} $ produzida pelo elemento 2 no elemento 1.

Passo 3

Vamos começar pelo item a). Para achar o campo magnético $ \vec{B}_{12} $ no ponto $ R_2 $ devido ao elemento de corrente 1, usamos a Lei de Biot-Savart:
B12
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $)
  • $ I , \vec{dl} $ é o elemento de corrente
  • $ \vec{r} $ é o vetor posição de $ R_2 $ em relação a $ R_1 $

Passo 4

Vamos calcular o vetor $ \vec{r} $:
r
Convertendo para metros:
r = R2 - R1 = (3 - 3), ax + (4 - 5), ay + (4 - 3), az = 0, ax -1, ay +1, az , cm
O módulo de $ \vec{r} $ é:
r = 0, ax -0.01, ay +0.01, az , m

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial $ \vec{dl}_1 \times \vec{r} $:
dl1 times r
dl1 = 4, ax -5, ay +5, az , Am
r = 0, ax -0.01, ay +0.01, az , m
Calculando o determinante:
dl1 times r = ax & ay & az 4 & -5 & 5 0 & -0.01 & 0.01
dl1 times r = ax ( (-5)(0.01) - (5)(-0.01) ) - ay ( (4)(0.01) - (5)(0) ) + az ( (4)(-0.01) - (-5)(0) )
= ax (-0.05 + 0.05) - ay (0.04 - 0) + az (-0.04 - 0)
= ax (0) - ay (0.04) + az (-0.04)

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Biot-Savart para encontrar $ \vec{B}_{12} $:
B12
B12 = mu04pi dl1 times r|r|^3
= 4pi times 10^-74pi -0.04, ay -0.04, az (0.01414)^3
= 10^-7 -0.04, ay -0.04, az 0.000002828
= 10^-7 times -0.04 0.000002828 , ay + 10^-7 times -0.04 0.000002828 , az
= 10^-7 times (-14142.1356) , ay + 10^-7 times (-14142.1356), az

Passo 7

Pronto! Achamos a densidade de fluxo magnético $ \vec{B}_{12} $ produzida pelo elemento 1 no elemento 2.
Agora, vamos para o item b), onde precisamos encontrar a força magnética $ \vec{F}_{21} $ sobre o elemento 1 devido ao elemento 2.
Usamos a fórmula:
B12
Aqui, $ \vec{dl}2 $ é a corrente e $ \vec{B}{21} $ é o campo magnético produzido pelo elemento 2 no ponto $ R_1 $.

Passo 8

Primeiro, calculamos o vetor $ \vec{r}’ = R_1 - R_2 $:
r' = R1 - R2
r' = R1 - R2 = (3 - 3), ax + (5 - 4), ay + (3 - 4), az = 0, ax +1, ay -1, az , cm
Módulo:
= 0, ax +0.01, ay -0.01, az , m

Passo 9

Calculamos $ \vec{dl}_2 \times \vec{r}’ $:
dl2 times r'
dl2 = 2, ax -3, ay +5, az , Am
r' = 0, ax +0.01, ay -0.01, az , m
Calculando:
dl2 times r' = ax & ay & az 2 & -3 & 5 0 & 0.01 & -0.01
dl2 times r' = ax ( (-3)(-0.01) - (5)(0.01) ) - ay ( (2)(-0.01) - (5)(0) ) + az ( (2)(0.01) - (-3)(0) )
= ax (0.03 - 0.05) - ay (-0.02 - 0) + az (0.02 - 0)
= ax (-0.02) - ay (-0.02) + az (0.02)

Passo 10

Usamos a Lei de Biot-Savart para encontrar $ \vec{B}_{21} $:
B21
B21 = mu04pi dl2 times r'|r'|^3
= 4pi times 10^-74pi -0.02, ax +0.02, ay +0.02, az (0.01414)^3
= 10^-7 -0.02, ax +0.02, ay +0.02, az 0.000002828
= 10^-7 times -0.02 0.000002828 , ax + 10^-7 times 0.02 0.000002828 , ay + 10^-7 times 0.02 0.000002828 , az
= 10^-7 times (-7071.0678) , ax + 10^-7 times 7071.0678, ay + 10^-7 times 7071.0678, az

Passo 11

Finalmente, calculamos a força magnética $ \vec{F}_{21} $ sobre o elemento 1:
F21
F21 = I , dl1 times B21
= dl1 times B21
Calculando o produto vetorial:
= (4, ax -5, ay +5, az) times (-0.0007071, ax +0.0007071, ay +0.0007071, az)
F21 = 4 times (0.0007071, ax times ax) + 4 times (0.0007071, ax times ay) + 4 times (0.0007071, ax times az)
-5 times (-0.0007071, ay times ax) -5 times (0.0007071, ay times ay) -5 times (0.0007071, ay times az)
Simplificando sabendo que $ \hat{a}_i \times \hat{a}_i = 0 $ e usando as regras de produtos vetoriais:
+5 times (-0.0007071, az times ax) +5 times (0.0007071, az times ay) +5 times (0.0007071, az times az)
ai times ai = 0
F21 = 4 times 0 + 4 times (0.0007071, az) + 4 times (-0.0007071, ay)
+5 times (0.0007071, az) +0 + (-5) times (-0.0007071, ax)
+5 times (0.0007071, ay) +0 +0
= 0 + 0.0028284, az -0.0028284, ay +0.0035355, az +0.0035355, ax +0.0035355, ay

Resposta

a) A densidade de fluxo magnético produzida pelo elemento 1 no elemento 2 é:
B12 = -0.001414, ay -0.001414, az , T
b) A força magnética produzida pelo elemento 2 sobre o elemento 1 é:
F21 = 0.0035355, ax +0.0007071, ay +0.0063639, az , N

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