Algumas propriedades das integrais definidas permitem simplificar o cálculo de integrais envolvendo a soma ou a diferença de funções. Essas propriedades são úteis para dividir problemas de integração em partes menores e mais simples. Considere as funções f(x) e g(x), e seja c um número real constante. Qual das opções a seguir é uma propriedade verdadeira das integrais definidas envolvendo a soma ou a diferença de funções?
a. \quad \int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=g(x) \int_{a}^{b} f(x) d x+f(x) \int_{a}^{b} g(x).
b. \quad \int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\frac{\int_{a}^{b} f(x) d x}{\int_{a}^{b} g(x)} d x.
C. \int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=g(x) \int_{a}^{b} f(x) d x.
d. \int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x-\int_{a}^{b} g(x) d x.
e. \quad \int_{a}^{b}(f(x)+g(x)) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das fórmulas dadas expressa corretamente a propriedade de linearidade da integral definida em um intervalo [a,b]. Em outras palavras, precisamos lembrar que a operação
I[f]=\int_{a}^{b}f(x)\,dx
é linear, isto é, preserva soma e fator constante.

Passo 2

A linearidade da integral definida diz que, para quaisquer funções f e g integráveis em [a,b] e qualquer constante real c, vale
\int_{a}^{b}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx =\int_{a}^{b}f(x)\,dx +\int_{a}^{b}g(x)\,dx \quad\text{e}\quad \int_{a}^{b}c\,f(x)\,dx =c\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Passo 3

Agora basta comparar com as alternativas:
– A única que coincide com
\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx =\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx
é a alternativa (e). As demais tentam dividir, multiplicar as integrais por f(x) ou g(x), ou trocam sinal, portanto estão incorretas.

Resposta

(e) \displaystyle \int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx.

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