Qual das seguintes funções tem derivada contínua em todos os pontos de seu domínio?
O
a.
.
C
b.
.
C
C.
.
d.
.
C
e.
.
a.
C
b.
C
C.
d.
C
e.
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das funções abaixo têm derivada contínua em todos os pontos do seu domínio. Isso envolve dois conceitos principais:
- Calcular a derivada de cada função.
- Verificar se essa derivada é contínua em todo ponto onde a função está definida (ou seja, em todo o seu domínio).
Passo 2
Função
.
A derivada é
A derivada é
O domínio de
é
. A função
é contínua em cada ponto desse domínio (pois não há divisão por zero fora dos pontos excluídos). Logo,
é contínua em todo o domínio de
.
Passo 3
Função
.
A derivada é
A derivada é
O domínio de
é
. Em
,
torna-se infinita e, portanto, não contínua. Logo,
não é contínua em todo o domínio de
.
Passo 4
Função
e não existe (ou é ambígua) em
. Logo,
não é contínua em todo o domínio de
.
Passo 5
Função
.
A derivada é
A derivada é
definida para todo
. A função
é contínua em
. Logo,
é contínua em todo o domínio de
.
Passo 6
Função
.
A derivada é
A derivada é
O domínio de
é
. A função
é contínua para todo
. Logo,
é contínua em todo o domínio de
.
Resposta
As funções cujas derivadas são contínuas em todo ponto do seu domínio são:
a.
d.
e.
a.
d.
e.