Qual das seguintes funções tem derivada contínua em todos os pontos de seu domínio?
O
a.
h(x)=\tan (x).
C
b.
m(x)=\sqrt{ } x.
C
C.
f(x)=|x|.
d.
g(x)=x^{2}.
C
e.
k(x)=\ln (x).

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das funções abaixo têm derivada contínua em todos os pontos do seu domínio. Isso envolve dois conceitos principais:
  1. Calcular a derivada de cada função.
  2. Verificar se essa derivada é contínua em todo ponto onde a função está definida (ou seja, em todo o seu domínio).

Passo 2

Função h(x)=\tan(x).
A derivada é
h'(x)=\operatorname{sec}^2(x).
O domínio de \tan(x) é \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq \tfrac\pi2 + k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}. A função \operatorname{sec}^2(x) é contínua em cada ponto desse domínio (pois não há divisão por zero fora dos pontos excluídos). Logo, h'(x) é contínua em todo o domínio de h.

Passo 3

Função m(x)=\sqrt{x}.
A derivada é
m'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
O domínio de \sqrt{x} é [0,\infty). Em x=0, \frac1{2\sqrt{x}} torna-se infinita e, portanto, não contínua. Logo, m'(x) não é contínua em todo o domínio de m.

Passo 4

Função f(x)=|x|\). A derivada é \[f'(x)= \begin{cases} 1,&x>0,\\\\ -1,&x<0, \end{cases}
e não existe (ou é ambígua) em x=0\]. Mesmo considerando derivada lateral, há descontinuidade em \(0. Logo, f'(x) não é contínua em todo o domínio de f.

Passo 5

Função g(x)=x^2.
A derivada é
g'(x)=2x,
definida para todo x\in\mathbb{R}. A função 2x é contínua em \mathbb{R}. Logo, g'(x) é contínua em todo o domínio de g.

Passo 6

Função k(x)=\ln(x).
A derivada é
k'(x)=\frac{1}{x}.
O domínio de \ln(x) é (0,\infty). A função 1/x é contínua para todo x>0. Logo, k'(x) é contínua em todo o domínio de k.

Resposta

As funções cujas derivadas são contínuas em todo ponto do seu domínio são:
a. h(x)=\tan(x)
d. g(x)=x^2
e. k(x)=\ln(x)

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