Determine (a) a rotacional e (b) a divergente do campo vetorial.
(\mathbf{F}(x, y, z)=y^{2} z 1-x^{2} y z \mathbf{k})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e a divergente do campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=y^{2}z\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}-x^{2}yz\,\mathbf{k}.
O conteúdo é cálculo de operadores diferenciais em campos vetoriais:
divergente \nabla\cdot\mathbf{F} e rotacional \nabla\times\mathbf{F}.

Passo 2

Escrevemos
\mathbf{F}=\langle P,Q,R\rangle
com
P=y^{2}z,\quad Q=1,\quad R=-x^{2}yz.
A divergente é dada por
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z}.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais para a divergente:
\frac{\partial P}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial R}{\partial z}=-x^{2}y.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{F}=-x^{2}y.

Passo 4

O rotacional é
\nabla\times\mathbf{F} =\biggl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\biggr)\mathbf{i} +\biggl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\biggr)\mathbf{j} +\biggl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\biggr)\mathbf{k}.

Passo 5

Calculando cada componente do rotacional:
\frac{\partial R}{\partial y}=-x^{2}z, \quad \frac{\partial Q}{\partial z}=0 \;\Longrightarrow\; (\nabla\times\mathbf{F})_{i}=-x^{2}z,
\frac{\partial P}{\partial z}=y^{2}, \quad \frac{\partial R}{\partial x}=-2xyz \;\Longrightarrow\; (\nabla\times\mathbf{F})_{j}=y^{2}-(-2xyz)=y^{2}+2xyz,
\frac{\partial Q}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial y}=2yz \;\Longrightarrow\; (\nabla\times\mathbf{F})_{k}=0-2yz=-2yz.
Logo
\nabla\times\mathbf{F} =\langle -x^{2}z,\;y^{2}+2xyz,\;-2yz\rangle.

Resposta

(a) \nabla\times\mathbf{F}=\langle -x^{2}z,\;y^{2}+2xyz,\;-2yz\rangle
(b) \nabla\cdot\mathbf{F}=-x^{2}y

Exercícios relacionados