Algumas quádicas degeneram-se em pontos, retas ou planos. Faça corresponer a cada quádrica abaixo a descrição apropriada.
(i) x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=0;
(ii) z^{2}=0;
(iii) x^{2}+y^{2}=0;
(iv) x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0;
(v) x^{2}-y^{2}=0.
( ) um ponto ( ) um plano ( ) nenhum ponto ( ) reta ( ) dois planos

Passo 1

O enunciado pede para identificar a forma degenerada de cada superfície quadrática (ponto, plano, reta, nenhum ponto ou dois planos). Vamos usar a ideia de que termos quadráticos como \,x^2, \,y^2 e \,z^2 são sempre \ge0 em \mathbb{R}, e que fatores lineares podem definir retas ou planos.

Passo 2

Para \,x^{2}+3y^{2}+z^{2}=0, como cada termo \,x^2, \,3y^2 e \,z^2 é \ge0, a soma só pode ser zero se todos forem zero simultaneamente. Logo
x^2=0,\quad y^2=0,\quad z^2=0
implica (x,y,z)=(0,0,0). É um único ponto.

Passo 3

Para \,z^{2}=0 basta tirar raiz de ambos os lados, dando
z=0,
sem restrição sobre x e y. Isso descreve o plano z=0.

Passo 4

Para \,x^{2}+y^{2}=0, pelo mesmo raciocínio de soma de quadrados, só vale se
x=0,\quad y=0,
com z livre. Isso é a reta que é o eixo z.

Passo 5

Para \,x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0 temos
x^{2}+y^{2}+z^{2}=-1,
mas o lado esquerdo é \ge0 e não pode ser -1. Não há solução real, ou seja, nenhum ponto.

Passo 6

Para \,x^{2}-y^{2}=0 fatoramos
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)=0,
o que dá as duas famílias de planos
x-y=0 \quad\text{e}\quad x+y=0.
São dois planos.

Resposta

(i) um ponto
(ii) um plano
(iii) reta
(iv) nenhum ponto
(v) dois planos

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