Algumas quádicas degeneram-se em pontos, retas ou planos. Faça corresponer a cada quádrica abaixo a descrição apropriada.
(i)
;
(ii)
;
(iii)
;
(iv)
;
(v)
.
( ) um ponto ( ) um plano ( ) nenhum ponto ( ) reta ( ) dois planos
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
( ) um ponto ( ) um plano ( ) nenhum ponto ( ) reta ( ) dois planos
Passo 1
O enunciado pede para identificar a forma degenerada de cada superfície quadrática (ponto, plano, reta, nenhum ponto ou dois planos). Vamos usar a ideia de que termos quadráticos como
,
e
são sempre
em
, e que fatores lineares podem definir retas ou planos.
Passo 2
Para
, como cada termo
,
e
é
, a soma só pode ser zero se todos forem zero simultaneamente. Logo
implica
. É um único ponto.
Passo 3
Para
basta tirar raiz de ambos os lados, dando
sem restrição sobre
e
. Isso descreve o plano
.
Passo 4
Para
, pelo mesmo raciocínio de soma de quadrados, só vale se
com
livre. Isso é a reta que é o eixo
.
Passo 5
Para
temos
mas o lado esquerdo é
e não pode ser
. Não há solução real, ou seja, nenhum ponto.
Passo 6
Para
fatoramos
o que dá as duas famílias de planos
São dois planos.
Resposta
(i) um ponto
(ii) um plano
(iii) reta
(iv) nenhum ponto
(v) dois planos
(ii) um plano
(iii) reta
(iv) nenhum ponto
(v) dois planos