A excentricidade de uma elipse de semi-eixos a e b é dada por
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}
Segundo a Lei da Gravitação Universal elaborada pelo físico inglês Isaac Newton, os planetas movem-se em órbitas elípticas em torno do sol. Considerando que a excentricidade da órbita de Mercúrio é 0,21 , calcule a relação entre os eixos a e b.

Passo 1

O enunciado nos dá a excentricidade de uma elipse de semi-eixos a e b como
e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}
e afirma que, na órbita de Mercúrio, e = 0{,}21. Precisamos encontrar a relação entre a e b.

Passo 2

A partir de
\frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = 0{,}21
multiplicamos ambos os lados por a e depois elevamos ao quadrado:
\sqrt{a^2 - b^2} = 0{,}21\,a
a^2 - b^2 = (0{,}21\,a)^2

Passo 3

Calculamos o quadrado de 0{,}21\,a e isolamos b^2:
a^2 - b^2 = 0{,}0441\,a^2
b^2 = a^2 - 0{,}0441\,a^2 = (1 - 0{,}0441)\,a^2 = 0{,}9559\,a^2

Passo 4

Tirando raiz em ambos os lados, obtemos
b = \sqrt{0{,}9559}\;a
e portanto a razão entre os eixos é
\frac{b}{a} = \sqrt{0{,}9559}\approx 0{,}978
ou, invertendo,
\frac{a}{b}\approx 1{,}023.

Resposta

\displaystyle \frac{b}{a} = \sqrt{1 - (0{,}21)^2}\approx 0{,}978 (ou equivalentemente \,a/b\approx1{,}023).

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