Considere f(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } 0<x \leq 2, \\\\ -1 & \text { se } 2<x \leq 4, \text { Determine: } \\\\ 5-x & \text { se } 4<x \leq 5 .\end{cases}
\int_{0}^{3} f(x) d x;

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes
f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x\le2,\\\\ -1, & 2<x\le4,\\\\ 5-x, & 4<x\le5, \end{cases}
e pede o valor de \displaystyle \int_{0}^{3}f(x)\,dx.
O conteúdo principal é integral definida de função por partes, dividindo o intervalo de integração segundo onde a fórmula de f muda.

Passo 2

Como queremos \displaystyle \int_{0}^{3}f(x)\,dx, observamos que para 0\le x\le3 a função vale
\;f(x)=2x em 0<x\le2
e
\;f(x)=-1 em 2<x\le3.
Assim dividimos a integral em duas partes:
\int_{0}^{3}f(x)\,dx = \int_{0}^{2}2x\,dx + \int_{2}^{3}(-1)\,dx.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{2}2x\,dx.
Usando a primitiva de 2x, que é x^2, temos
\int_{0}^{2}2x\,dx =\bigl[x^2\bigr]_{0}^{2} =2^2-0^2 =4.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{2}^{3}(-1)\,dx.
A primitiva de -1 é -x, então
\int_{2}^{3}(-1)\,dx =\bigl[-x\bigr]_{2}^{3} =(-3)-(-2) =-3+2 =-1.

Passo 5

Somar os resultados das duas integrais:
\int_{0}^{3}f(x)\,dx =4+(-1) =3.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{3}f(x)\,dx = 3.

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