Esboce o gráfico das seguintes cônicas
x^{2}-4 y^{2}-2 x+16 y-19=0 ; \mathbf{R}. Hipérbole transladada para (1,2).

Passo 1

O enunciado pede o esboço da cônica
x^{2}-4y^{2}-2x+16y-19=0
que é uma hipérbole transladada no plano \mathbb R^2. Para desenhar, vamos (i) completar quadrados para isolar os termos em x e y, (ii) colocar na forma canônica e (iii) extrair centro, semi-eixos, vértices e assíntotas.

Passo 2

Agrupamos e completamos quadrados em x e y:
x^{2}-2x\;-\;4\bigl(y^{2}-4y\bigr)\;-\;19=0.
Em x: x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1.
Em y: y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Substituindo:
(x-1)^{2}-1 \;-\;4\bigl((y-2)^{2}-4\bigr)\;-\;19=0.

Passo 3

Expandindo e reunindo constantes:
(x-1)^{2}-1 \;-\;4(y-2)^{2}+16\;-\;19=0 \;\;\Longrightarrow\;\; (x-1)^{2}-4(y-2)^{2}-4=0 \;\;\Longrightarrow\;\; (x-1)^{2}-4(y-2)^{2}=4.
Dividindo por 4 obtemos a forma canônica:
\frac{(x-1)^{2}}{4}\;-\;\frac{(y-2)^{2}}{1}\;=\;1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x-1)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-2)^{2}}{b^{2}}=1
vemos que
a^{2}=4\Rightarrow a=2,
b^{2}=1\Rightarrow b=1.
O centro é (1,2).
Os vértices estão em (1\pm a,\,2), ou seja em (3,2) e (-1,2).
As assíntotas seguem
y-2 = \pm\frac{b}{a}\,(x-1) \;\;\Longrightarrow\;\; y-2 = \pm\tfrac12\,(x-1).

Passo 5

No esboço, desenhe o ponto central (1,2), trace as retas
y-2 = \tfrac12(x-1) \quad\text{e}\quad y-2 = -\tfrac12(x-1)
e marque os vértices (-1,2) e (3,2). Os ramos da hipérbole abrem-se horizontalmente, aproximando-se das duas assíntotas.

Resposta

Centro: (1,2)
Semi-eixos: a=2, b=1
Vértices: (-1,2), (3,2)
Assíntotas: y-2 = \pm\tfrac12(x-1)
Ramos abertos horizontalmente, aproximando-se das assíntotas acima descritas.

Exercícios relacionados