1. a. Em alguns casos, a matriz pode ser escalonada em mais de uma matriz em forma escalonada reduzida, usando sequiências diferentes de operações elementares.
    b. O algoritmo de escalonamento só se aplica a matrizes completas de um sistema linear.
    c. Uma variável dependente num sistema linear é uma variável que corresponde a uma coluna pivô na matriz dos coeficientes.
    d. Determinar uma descrição paramétrica do conjunto solução de um sistema linear é o mesmo que resolver o sistema.
    e. Se uma linha de uma forma escalonada de uma matriz completa for [ 00050 ], então o sistema linear associado é impossível.

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre eliminação de Gauss, forma escalonada (e reduzida), variáveis pivô e consistência de sistemas. Nosso objetivo é dizer, para cada uma, se é verdadeira (V) ou falsa (F). Vamos usar teoria de eliminação de matrizes, unicidade da forma escalonada reduzida, distinção entre variáveis básicas (pivô) e livres, e o critério de linha impossível.

Passo 2

a. Diz que “em alguns casos a matriz pode ser escalonada em mais de uma forma escalonada reduzida, usando sequências diferentes de operações”. Mas um teorema fundamental garante que a forma escalonada reduzida (RREF) é única, independentemente da sequência de operações. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

b. Afirma que “o algoritmo de escalonamento só se aplica a matrizes completas de um sistema linear”. Na realidade, a eliminação de Gauss vale para qualquer matriz (coeficientes, só de coeficientes ou de outros dados), não apenas para a matriz aumentada. Portanto, é falsa.

Passo 4

c. Diz que “uma variável dependente num sistema linear é uma variável que corresponde a uma coluna pivô na matriz dos coeficientes”. Chamamos de variável básica ou pivô aquela que fica atrelada a uma coluna pivô e é expressa em função das livres; por isso ela é “dependente”. Então a afirmação é verdadeira.

Passo 5

d. Afirma que “determinar uma descrição paramétrica do conjunto solução de um sistema é o mesmo que resolver o sistema”. Realmente, resolver um sistema com infinitas soluções equivale a dar sua forma paramétrica. Logo, é verdadeira.

Passo 6

e. Diz que “se uma linha de uma forma escalonada de uma matriz completa for [ 0 0 0 5 0 ], então o sistema associado é impossível”. Se interpretamos essa linha como l[0;0;0;5 mid 0r], ela corresponde a 5x4=0, que tem solução x4=0. Uma linha impossível seria do tipo l[0;0;0 mid cr] com cneq0. Portanto, a afirmação é falsa.

Resposta

a. F
b. F
c. V
d. V
e. F

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