Nos Exercícios 1-4, determine quais das matrizes estão na forma escalonada reduzida e quais estão apenas em forma escalonada (mas não na forma escalonada reduzida).
  1. a. [llll1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0]
    b. [llll1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1]
    c. [lll0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
    d. [lll0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0]
  2. a. [llll1 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0]
    b. [llll1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1]
    c. [lll1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0]
    d. [lll1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0]
  3. a. [llll1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0]
    b. [lllll1 & 2 & 3 & 4 & 5 0 & 2 & 3 & 4 & 5 0 & 0 & 3 & 4 & 5 0 & 0 & 0 & 4 & 5]
  4. a. [llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1]
    b. [lllll0 & 2 & 3 & 4 & 5 0 & 0 & 3 & 4 & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede, para várias matrizes, identificar se elas estão em forma escalonada (REF) e se, adicionalmente, estão na forma escalonada reduzida (RREF). Vamos usar as definições:
REF (forma escalonada):
1) Todas as linhas zero aparecem abaixo das linhas não-zero.
2) O pivô (primeiro elemento não-zero) de cada linha está à direita do pivô da linha anterior.
3) Abaixo de cada pivô, todos os elementos são zero.
RREF (forma escalonada reduzida):
é REF, mais
4) Cada pivô vale ,1.
5) Em cada coluna de pivô, esse 1 é o único elemento não-zero (ou seja, há zeros acima e abaixo).

Passo 2

Aplicamos os critérios a cada matriz do Exercício 1:
1a. Pivôs em (1,1),(2,2),(3,3), todos iguais a 1, zeros acima e abaixo em cada coluna de pivô, zero-rows embaixo.
to está em RREF.
1b. Pivôs em (1,1),(2,2),(3,4), todos iguais a 1, zeros acima e abaixo em cada coluna de pivô.
to está em RREF.
1c. Pivôs em (1,2),(2,3), ambos iguais a 1, mas na coluna do pivô em (2,3) há um 1 acima em (1,3).
to é REF, mas não RREF.
1d. Há uma linha zero acima de linhas não-zero (linha 1 é zero, linha 2 não é).
to não está nem em REF.

Passo 3

Classificação do Exercício 2:
2a. Pivôs em (1,1),(2,4), ambos iguais a 1, zeros acima e abaixo.
to RREF.
2b. Pivôs em (1,1),(2,3),(3,4), mas na coluna do pivô em (2,3) existe um 1 acima e na coluna do pivô em (3,4) existe um 1 acima.
to REF apenas.
2c. Há uma linha zero (linha 2) entre linhas não-zero.
to não está em REF.
2d. Pivô em (1,1) igual a 1, zeros abaixo (linhas 2 e 3), linhas zero no fim.
to RREF.

Passo 4

Classificação do Exercício 3:
3a. Pivôs em (1,1),(2,2),(3,4), todos iguais a 1, zeros em suas colunas acima e abaixo, zero-row embaixo.
to RREF.
3b. Pivôs em (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) existem, mas não valem 1 (são 1,2,3,4).
to REF apenas.

Passo 5

Classificação do Exercício 4:
4a. Na segunda linha o primeiro não-zero está na coluna 1 (mesma coluna do pivô da linha 1), violando o avanço à direita.
to não está em REF.
4b. Pivôs em (1,2),(2,3),(3,5), todos não-zero, zero-row embaixo e avanço correto, mas não valem 1.
to REF apenas.

Resposta

Exercício 1
– RREF: 1a, 1b
– REF apenas: 1c
Exercício 2
– RREF: 2a, 2d
– REF apenas: 2b
Exercício 3
– RREF: 3a
– REF apenas: 3b
Exercício 4
– REF apenas: 4b

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