Alguns casos de modelagem de crescimento populacional podem ser mais apropriado utilizar uma EDO de segunda ordem.
(a) Suponha que uma explosão no crescimento populacional permita que a população temporariamente exceda seu tamanho maximal sustentável. Se a população é governada pela equação
em que
é uma constante positiva,
e
, encontre a população
;
(b) Encontre o primeiro valor de
para o qual
;
(c) Calcule
;
(d) Esboce o gráfico de
para
. (Utilize algum programa computacional)
(a) Suponha que uma explosão no crescimento populacional permita que a população temporariamente exceda seu tamanho maximal sustentável. Se a população é governada pela equação
(b) Encontre o primeiro valor de
(c) Calcule
(d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá uma EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes para a população
:
com condições iniciais
e
.
O método para resolver é:
O método para resolver é:
- achar a solução geral da homogênea;
- achar uma solução particular constante;
- combinar e ajustar as constantes pelos valores iniciais.
Passo 2
A equação característica da parte homogênea é
cuja raiz são
Logo a solução homogênea é
Como o termo forçante é constante, procuramos particular
. Substituindo na EDO obtém-se
A solução geral fica
Passo 3
Impondo
dá
Para
temos
Em
isso vale
. Substituindo
resulta
Portanto
Passo 4
Para achar o primeiro
com
basta resolver
A menor solução positiva vem de
Passo 5
Como o termo oscilatório tem fator
,
Passo 6
O gráfico de
para
é uma oscilação amortecida em torno de
, partindo de
, cruzando pela primeira vez
em
e depois convergindo monoticamente a
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Gráfico: oscilação amortecida em torno de
, com decaimento exponencial, cruzando
em
e tendendo a
.