Alguns casos de modelagem de crescimento populacional podem ser mais apropriado utilizar uma EDO de segunda ordem.
(a) Suponha que uma explosão no crescimento populacional permita que a população temporariamente exceda seu tamanho maximal sustentável. Se a população é governada pela equação
\frac{d^{2} P}{d t^{2}}+\frac{d P}{d t}+\frac{5}{2} P=\frac{5}{2} P_{\max }
em que P_{\text {max }} é uma constante positiva, P(0)=\frac{5}{2} P_{\text {max }} e P^{\prime}(0)=\frac{1}{10} P_{\text {max }}, encontre a população P(t);
(b) Encontre o primeiro valor de t>0 para o qual P(t) \geq P_{\text {max }};
(c) Calcule \lim _{t \longrightarrow \infty} P(t);
(d) Esboce o gráfico de P(t) para t>0. (Utilize algum programa computacional)

Passo 1

O enunciado dá uma EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes para a população P(t):
\frac{d^{2}P}{dt^{2}} + \frac{dP}{dt} + \frac{5}{2}P = \frac{5}{2}P_{\max},
com condições iniciais P(0)=\tfrac{5}{2}P_{\max} e P'(0)=\tfrac{1}{10}P_{\max}.
O método para resolver é:
  1. achar a solução geral da homogênea;
  2. achar uma solução particular constante;
  3. combinar e ajustar as constantes pelos valores iniciais.

Passo 2

A equação característica da parte homogênea é
r^2 + r + \tfrac{5}{2} = 0,
cuja raiz são
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 10}}{2} = -\tfrac12 \pm \tfrac{3}{2}i.
Logo a solução homogênea é
P_h(t) = e^{-t/2}\bigl(A\cos(\tfrac{3t}{2}) + B\sin(\tfrac{3t}{2})\bigr).
Como o termo forçante é constante, procuramos particular P_p=C. Substituindo na EDO obtém-se
\frac{5}{2}C = \frac{5}{2}P_{\max} \quad\Longrightarrow\quad C = P_{\max}.
A solução geral fica
P(t) = P_{\max} + e^{-t/2}\bigl(A\cos(\tfrac{3t}{2}) + B\sin(\tfrac{3t}{2})\bigr).

Passo 3

Impondo P(0)=\tfrac{5}{2}P_{\max}
P(0)=P_{\max} + A = \tfrac{5}{2}P_{\max} \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{2}P_{\max}.
Para P'(t) temos
P'(t)=e^{-t/2}\Bigl[-\tfrac12(A\cos\tfrac{3t}{2}+B\sin\tfrac{3t}{2}) -\tfrac{3}{2}A\sin\tfrac{3t}{2} +\tfrac{3}{2}B\cos\tfrac{3t}{2}\Bigr].
Em t=0 isso vale P'(0)=-\tfrac12A + \tfrac32B=\tfrac{1}{10}P_{\max}. Substituindo A=\tfrac32P_{\max} resulta
-\tfrac34P_{\max} + \tfrac32B = \tfrac{1}{10}P_{\max} \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{17}{30}P_{\max}.
Portanto
P(t) = P_{\max} + P_{\max}\,e^{-t/2}\Bigl(\tfrac{3}{2}\cos(\tfrac{3t}{2}) + \tfrac{17}{30}\sin(\tfrac{3t}{2})\Bigr).

Passo 4

Para achar o primeiro t>0 com P(t)=P_{\max} basta resolver
e^{-t/2}\Bigl(\tfrac{3}{2}\cos\tfrac{3t}{2}+\tfrac{17}{30}\sin\tfrac{3t}{2}\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \tan\!\bigl(\tfrac{3t}{2}\bigr) = -\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{17}{30}} = -\frac{45}{17}.
A menor solução positiva vem de
\tfrac{3t}{2} = \pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{45}{17}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2}{3}\Bigl(\pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{45}{17}\bigr)\Bigr) \approx 1{,}29.

Passo 5

Como o termo oscilatório tem fator e^{-t/2},
\lim_{t\to\infty}P(t)=P_{\max}.

Passo 6

O gráfico de P(t) para t>0 é uma oscilação amortecida em torno de P_{\max}, partindo de P(0)=2{,}5P_{\max}, cruzando pela primeira vez P_{\max} em t\approx1{,}29 e depois convergindo monoticamente a P_{\max}.

Resposta

(a)
P(t) = P_{\max} \;+\; P_{\max}\,e^{-t/2}\Bigl(\tfrac{3}{2}\cos(\tfrac{3t}{2}) + \tfrac{17}{30}\sin(\tfrac{3t}{2})\Bigr).
(b)
t = \frac{2}{3}\Bigl(\pi - \arctan\!\bigl(\tfrac{45}{17}\bigr)\Bigr) \approx 1{,}29.
(c)
\lim_{t\to\infty}P(t) = P_{\max}.
(d) Gráfico: oscilação amortecida em torno de P_{\max}, com decaimento exponencial, cruzando P_{\max} em t\approx1{,}29 e tendendo a P_{\max}.

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