(Crescimento populacional com colheita) A equação logística P^{\prime}=(1-P) P fornece um modelo de crescimento populacional, considerando apenas regulamentação interna da população. Assuma agora que temos uma colheita de parte da população (considere, por exemplo, uma criação de peixes, então a colheita seria o número de peixes pescados em algum período). Assumindo que a taxa de colheita seja constante, chegamos na seguinte equação
P^{\prime}=(1-P) P-C,
em que C é uma constante positiva.
a) Faça uma análise qualitativa da equação dependendo do valor da constante C.
b) Resolva analiticamente a EDO P^{\prime}=(1-P) P-C. Verifique se a solução obtida está de acordo com sua análise qualitativa. Por exemplo, utilize algum programa computacional para desenhar algumas curvas integrais a partir da solução analítica e compare com os desenhos que você obteve qualitativamente no item anterior.
i) 0<C<1 / 4;
ii) C=1 / 4;
iii) C>1 / 4.
Ou seja, determine os pontos de equilíbrio, decida se os pontos de equilíbrio são estáveis ou instáveis, desenhe algumas curvas integrais, discuta o comportamento da população em cada caso (a população será extinta ou não?)

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo logístico com colheita constante
P'=(1-P)P - C,
onde P(t) é o tamanho da população (normalizado) e C>0 a taxa de colheita. Vamos usar análise de pontos de equilíbrio e estabilidade (fase unidimensional) e depois resolver a EDO por separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
(1-P)P - C = 0 \;\Longleftrightarrow\; P^2 - P + C = 0.
As raízes são
P_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1-4C}}{2}.

Passo 3

Analisamos o discriminante D = 1-4C:
— Se 0 < C < 1/4, então D>0 e há dois equilíbrios reais P_1=(1-\sqrt{D})/2 e P_2=(1+\sqrt{D})/2.
— Se C = 1/4, então D=0 e há um equilíbrio duplo P=1/2.
— Se C>1/4, então D<0 e não há equilíbrio real.

Passo 4

Para 0<C<1/4 a estabilidade vem de f(P)=(1-P)P-C e f'(P)=1-2P:
— Em P_1: f'(P_1)=1-2P_1=\sqrt{D}>0, logo P_1 é instável.
— Em P_2: f'(P_2)=1-2P_2=-\sqrt{D}<0, logo P_2 é estável.

Passo 5

Fluxo qualitativo:
i) 0<C<1/4:
• Se P(0)>P_1, P(t)\to P_2 conforme t\to\infty.
• Se 0<P(0)<P_1, P(t)\to0 (extinção).
ii) C=1/4:
• Equilíbrio único P=1/2, semiestável. Para P(0)>1/2 tende a 1/2; para P(0)<1/2 decai a zero em tempo finito.
iii) C>1/4:
f(P)<0 para todo P, logo P(t) decai monotonamente a zero (extinção).

Passo 6

Resolução analítica por separação (caso 0<C<1/4). Denote D=\sqrt{1-4C}, P_1=(1-D)/2, P_2=(1+D)/2. Temos
P'=(P-P_1)(P_2-P).
Separamos e usamos frações parciais:
\int\frac{dP}{(P-P_1)(P_2-P)} =\frac1D\int\Bigl[\frac1{P-P_1}+\frac1{P_2-P}\Bigr]dP =\int dt.
Integramos:
\frac1D\ln\Bigl|\frac{P-P_1}{P_2-P}\Bigr|=t+K.
Exponenciando e resolvendo para P, com A=\frac{P(0)-P_1}{P_2-P(0)}, obtemos
P(t) =\frac{P_1 + A\,P_2\,e^{D\,t}}{1 + A\,e^{D\,t}}.

Passo 7

Para C=1/4 temos P'=-\bigl(P-\tfrac12\bigr)^2. A integral
\int\frac{dP}{-(P-\tfrac12)^2}=\int dt
-\frac1{P-\tfrac12}=t+K \;\Longrightarrow\; P(t)=\frac12 + \frac1{-(t+K)}.

Passo 8

Para C>1/4 escrevemos P'=(1-P)P - C e integramos implicitamente com substituição u=2P-1, obtendo
\frac{2}{\sqrt{4C-1}} \arctan\!\Bigl(\frac{2P-1}{\sqrt{4C-1}}\Bigr)=t+K.
Isso confirma monotonia decrescente e extinção (pois o argumento do \arctan tende a -\infty num instante finito).

Resposta

i) Se 0<C<1/4 então existem dois equilíbrios
P_1=\frac{1-\sqrt{1-4C}}{2}\quad(\text{instável}),\qquad P_2=\frac{1+\sqrt{1-4C}}{2}\quad(\text{estável}).áá
Para P(0)>P_1, P(t)\to P_2; para P(0)<P_1, P(t)\to0 (extinção).
ii) Se C=1/4 há equilíbrio duplo P=1/2, semiestável: quem parte acima tende a 1/2, quem parte abaixo é extinto em tempo finito.
iii) Se C>1/4 não há equilíbrio real e P'(t)<0 sempre, de modo que qualquer população inicial positiva decai a zero (extinção).

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