Determine o vetor gradiente da função f(x, y)=3 x^{3}-4 x y+3 y^{2} no ponto (1,1).
a. (-1,4)
b. N.D.A.
c. (-5,2)
d. (5,-2)
e. (2,5)

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente da função
f(x,y)=3x^{3}-4xy+3y^{2}
no ponto (1,1).
Conteúdo: derivadas parciais e vetor gradiente definido por
\nabla f(x,y)=\bigl(\tfrac{\partial f}{\partial x},\,\tfrac{\partial f}{\partial y}\bigr).

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x:
\tfrac{\partial f}{\partial x} =\tfrac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{3}-4xy+3y^{2}\bigr) =9x^{2}-4y.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y:
\tfrac{\partial f}{\partial y} =\tfrac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{3}-4xy+3y^{2}\bigr) =-4x+6y.

Passo 4

Avaliar ambas no ponto (1,1):
\tfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=9\cdot1^{2}-4\cdot1=9-4=5,
\tfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-4\cdot1+6\cdot1=-4+6=2.
Logo
\nabla f(1,1)=(5,2).

Passo 5

Comparando com as alternativas, não há (5,2). Portanto, a resposta correta é a opção b.

Resposta

b. N.D.A.

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