Estudar a natureza das séries seguinte e determine a soma, caso seja possível:
a) \sum_{n=1}^{\infty} 5^{-1-2 n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza da série
\sum_{n=1}^{\infty}5^{-1-2n}
e, se ela convergir, determinar a soma.
Esse tipo de série é reconhecido como uma série geométrica, pois cada termo difere do anterior por um fator constante r. Vamos usar o critério de convergência de séries geométricas (converge se |r|<1) e a fórmula da soma.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de modo a evidenciar a forma geométrica. Temos
5^{-1-2n} = 5^{-1}\cdot 5^{-2n} = \frac{1}{5}\,\bigl(5^{-2}\bigr)^{n}.
Como 5^{-2} = \tfrac{1}{25}, fica
5^{-1-2n} = \frac{1}{5}\,\Bigl(\frac{1}{25}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Na forma de série geométrica, o termo geral é a_n = A\,r^{n} com
A = \frac{1}{5}, \quad r = \frac{1}{25}.
Como \bigl|r\bigr| = \tfrac{1}{25}<1, a série converge.

Passo 4

Para uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}A\,r^{n} com |r|<1, a soma é
\sum_{n=1}^{\infty}A\,r^{n} = A\,\frac{r}{1-r}.
Aplicando A=\tfrac{1}{5} e r=\tfrac{1}{25}, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}5^{-1-2n} = \frac{1}{5}\,\frac{\tfrac{1}{25}}{1-\tfrac{1}{25}} = \frac{1}{5}\,\frac{\tfrac{1}{25}}{\tfrac{24}{25}} = \frac{1}{5}\,\frac{1}{24} = \frac{1}{120}.

Resposta

A série é geométrica, converge porque \bigl|r\bigr|=\tfrac{1}{25}<1, e sua soma é
\frac{1}{120}.

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