Considere a equação diferencial ordinária
(a) Verifique que
é ponto ordinário da EDO ;
(b) Determine duas soluções linearmente independentes da EDO;
(c) Determine o raio de convergência das duas soluções obtidas no item anterior;
(d) Encontre a solução da EDO satisfazendo as condições iniciais
e
.
(b) Determine duas soluções linearmente independentes da EDO;
(c) Determine o raio de convergência das duas soluções obtidas no item anterior;
(d) Encontre a solução da EDO satisfazendo as condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá a EDO
e pede: (a) verificar que
é ponto ordinário; (b) achar duas soluções linearmente independentes por série de potências em torno de
; (c) raio de convergência destas séries; (d) a combinação que satisfaz
,
. Para resolver, vamos primeiro colocar a EDO na forma padrão
e checar a analiticidade de
e
em
. Em seguida, assumimos
e obtemos o polinômio de coeficientes para determinar as recorrências dos
.
Passo 2
Dividindo a EDO por
(válido perto de
), obtemos
logo
Ambas são funções racionais com polos apenas em
, portanto são analíticas em
. Concluímos que
é ponto ordinário.
Passo 3
Suponha
Substituindo em
e igualando coeficientes de
, obtém-se a relação de recorrência
Para
dá
Passo 4
Para gerar a solução par, fazemos
e
. Então
e por indução todos os
com
são zero. Assim a série truncada é o polinômio
Passo 5
Para a solução ímpar, tomamos
,
. A partir de
calculamos os primeiros termos:
Logo
Passo 6
Os únicos polos de
e
são em
. Pela teoria de séries de potências, o raio de convergência de ambas as soluções obtidas em torno de
é a distância até o ponto singular mais próximo, ou seja,
Passo 7
Queremos
e
. Na expansão
temos
e
. Logo
,
. A solução geral em série é
Resposta
(a)
é ponto ordinário porque
e
são analíticas em
.
(b) Duas soluções linearmente independentes são
(b) Duas soluções linearmente independentes são
(c) O raio de convergência de ambas é
.
(d) A solução que satisfaz ,
é
(d) A solução que satisfaz