Considere a equação diferencial ordinária
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+6 y=0
(a) Verifique que x_{0}=0 é ponto ordinário da EDO ;
(b) Determine duas soluções linearmente independentes da EDO;
(c) Determine o raio de convergência das duas soluções obtidas no item anterior;
(d) Encontre a solução da EDO satisfazendo as condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(1 - x^2)\,y'' - 2x\,y' + 6\,y = 0
e pede: (a) verificar que x_0=0 é ponto ordinário; (b) achar duas soluções linearmente independentes por série de potências em torno de 0; (c) raio de convergência destas séries; (d) a combinação que satisfaz y(0)=1, y'(0)=2. Para resolver, vamos primeiro colocar a EDO na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0
e checar a analiticidade de p(x) e q(x) em x=0. Em seguida, assumimos
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n
e obtemos o polinômio de coeficientes para determinar as recorrências dos a_n.

Passo 2

Dividindo a EDO por 1-x^2 (válido perto de x=0), obtemos
y'' - \frac{2x}{1-x^2}\,y' + \frac{6}{1-x^2}\,y = 0,
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p(x) = -\frac{2x}{1-x^2}, \quad q(x) = \frac{6}{1-x^2}.
Ambas são funções racionais com polos apenas em x=\pm1, portanto são analíticas em x=0. Concluímos que x_0=0 é ponto ordinário.

Passo 3

Suponha
y = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n,\quad y' = \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}\,x^n,\quad y'' = \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^n.
Substituindo em (1-x^2)y''-2x\,y'+6y=0 e igualando coeficientes de x^n, obtém-se a relação de recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;=\;(n+3)(n-2)\,a_n, \quad n\ge0.
Para n=0
2\cdot1\,a_2 = 3\cdot(-2)\,a_0 \;\Longrightarrow\; a_2 = -3\,a_0.

Passo 4

Para gerar a solução par, fazemos a_1=0 e a_0=1. Então
a_2 = -3,\;a_4 = \frac{5\cdot0}{4\cdot3}\,a_2=0,
e por indução todos os a_{2k} com k\ge2 são zero. Assim a série truncada é o polinômio
y_1(x) = 1 - 3\,x^2.

Passo 5

Para a solução ímpar, tomamos a_0=0, a_1=1. A partir de
a_{n+2} = \frac{(n+3)(n-2)}{(n+2)(n+1)}\,a_n
calculamos os primeiros termos:
a_3 = -\tfrac{2}{3},\quad a_5 = -\tfrac{1}{5},\quad a_7 = -\tfrac{4}{35},\;\dots
Logo
y_2(x) = x - \tfrac{2}{3}x^3 - \tfrac{1}{5}x^5 - \tfrac{4}{35}x^7 - \cdots.

Passo 6

Os únicos polos de p(x) e q(x) são em x=\pm1. Pela teoria de séries de potências, o raio de convergência de ambas as soluções obtidas em torno de 0 é a distância até o ponto singular mais próximo, ou seja,
R = 1.

Passo 7

Queremos y(0)=1 e y'(0)=2. Na expansão
y = a_0 + a_1\,x + \cdots,
temos y(0)=a_0 e y'(0)=a_1. Logo a_0=1, a_1=2. A solução geral em série é
y(x) = a_0\,y_1(x) + a_1\,y_2(x) = (1)\bigl(1-3x^2\bigr) + (2)\Bigl(x - \tfrac{2}{3}x^3 - \tfrac{1}{5}x^5 - \cdots\Bigr).

Resposta

(a) x_0=0 é ponto ordinário porque p(x)=-2x/(1-x^2) e q(x)=6/(1-x^2) são analíticas em 0.
(b) Duas soluções linearmente independentes são
y_1(x) = 1 - 3x^2, \quad y_2(x) = x - \tfrac{2}{3}x^3 - \tfrac{1}{5}x^5 - \tfrac{4}{35}x^7 - \cdots.
(c) O raio de convergência de ambas é R=1.
(d) A solução que satisfaz y(0)=1, y'(0)=2 é
y(x) = (1-3x^2) + 2\bigl(x - \tfrac{2}{3}x^3 - \tfrac{1}{5}x^5 - \cdots\bigr).

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