Em alguns parques de diversões, existe um brinquedo chamado rotor, que consiste em um cilindro oco, de eixo vertical, dentro do qual é introduzida uma pessoa: De início, a pessoa apoia-se sobre um suporte, que é retirado automaticamente quando o rotor gira com uma velocidade adequada. Admita que o coeficiente de atrito estático entre o corpo da pessoa e a parede interna do rotor valha μ. Suponha que o módulo da aceleração da gravidade seja g e que o rotor tenha raio R. Calcule a mínima velocidade angular do rotor, de modo que, com o suporte retirado, a pessoa não escorregue em relação à parede.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem um brinquedo chamado rotor, que é basicamente um cilindro oco girando. Uma pessoa entra nesse rotor e, quando gira rápido o suficiente, fica presa na parede por causa da força centrípeta. Queremos descobrir qual é a velocidade angular mínima necessária para que, quando o suporte que segura a pessoa é retirado, ela não escorregue. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de força centrípeta, atrito estático e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na pessoa dentro do rotor. Tem a força centrípeta, que é a força que mantém a pessoa presa na parede do rotor. Essa força é proporcionada pela força normal (N) da parede sobre a pessoa e é calculada por:
N = m cdot omega^2 cdot R
Onde:
  • $ m $ é a massa da pessoa,
  • $ \omega $ é a velocidade angular do rotor,
  • $ R $ é o raio do rotor.

Passo 3

Além da força centrípeta, tem também a força da gravidade agindo para baixo, que é:
Fg = m cdot g
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Para que a pessoa não escorregue, a força de atrito estático (que impede o deslizamento) precisa ser igual ou maior que a força da gravidade. A força de atrito estático é dada por:
Fatrito = mu cdot N
Substituindo $ N $ da Passo 2:
N

Passo 5

Agora, vamos garantir que a força de atrito seja pelo menos igual à força da gravidade para evitar que a pessoa escorregue:
mu cdot m cdot omega^2 cdot R >= m cdot g
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $:
m

Passo 6

Vamos isolar $ \omega^2 $:
omega^2
E, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ \omega $:
omega^2 >= gmu cdot R

Resposta

A mínima velocidade angular do rotor para que a pessoa não escorregue é:
omega = raizgmu cdot R

Exercícios relacionados