Em alguns parques de diversões, existe um brinquedo chamado rotor, que consiste em um cilindro oco, de eixo vertical, dentro do qual é introduzida uma pessoa: De início, a pessoa apoia-se sobre um suporte, que é retirado automaticamente quando o rotor gira com uma velocidade adequada. Admita que o coeficiente de atrito estático entre o corpo da pessoa e a parede interna do rotor valha μ. Suponha que o módulo da aceleração da gravidade seja g e que o rotor tenha raio R. Calcule a mínima velocidade angular do rotor, de modo que, com o suporte retirado, a pessoa não escorregue em relação à parede.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente tem um brinquedo chamado rotor, que é basicamente um cilindro oco girando. Uma pessoa entra nesse rotor e, quando gira rápido o suficiente, fica presa na parede por causa da força centrípeta. Queremos descobrir qual é a velocidade angular mínima necessária para que, quando o suporte que segura a pessoa é retirado, ela não escorregue. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de força centrípeta, atrito estático e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na pessoa dentro do rotor. Tem a força centrípeta, que é a força que mantém a pessoa presa na parede do rotor. Essa força é proporcionada pela força normal (N) da parede sobre a pessoa e é calculada por:
Onde:
- $ m $ é a massa da pessoa,
- $ \omega $ é a velocidade angular do rotor,
- $ R $ é o raio do rotor.
Passo 3
Além da força centrípeta, tem também a força da gravidade agindo para baixo, que é:
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Para que a pessoa não escorregue, a força de atrito estático (que impede o deslizamento) precisa ser igual ou maior que a força da gravidade. A força de atrito estático é dada por:
Substituindo $ N $ da Passo 2:
Passo 5
Agora, vamos garantir que a força de atrito seja pelo menos igual à força da gravidade para evitar que a pessoa escorregue:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por $ m $:
Passo 6
Vamos isolar $ \omega^2 $:
E, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ \omega $:
Resposta
A mínima velocidade angular do rotor para que a pessoa não escorregue é: