Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
y^prime=1+3 x^23 y^2-6 y, y(0)=1
e determine o intervalo de validade da solução.
Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y' = 1+3x^23y^2 -6y, y(0)=1,
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis, e determinar o intervalo maximal de existência da solução, isto é, até onde não ocorrem tangentes verticais (denominador zero).

Passo 2

Separamos as variáveis levando todos os termos em y para o lado esquerdo e em x para o direito:
(3y^2 -6y),dy = (1+3x^2),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral (3y^2 -6y),dy = integral (1+3x^2),dx Longrightarrow y^3 -3y^2 = x + x^3 + C

Passo 4

Aplicamos y(0)=1. Em x=0, y=1
1^3 -3cdot1^2 = 0 + 0 + C Longrightarrow -2 = C
Logo a solução implícita é
y^3 -3y^2 = x^3 + x -2

Passo 5

O intervalo de validade termina onde 3y^2-6y=0, pois aí a tangente fica vertical.
Esses pontos são y=0 ou y=2.
Em y=0: da relação implícita vem 0 - 0 = x^3 + x -2, ou seja
x^3 + x -2 = 0 Longrightarrow x=1
Em y=2: temos 8 -12 = x^3 + x -2, isto é
-4 = x^3 + x -2 Longrightarrow x^3 + x +2 = 0 Longrightarrow x = -1
Portanto, a solução existe para xin(-1,1).

Resposta

y^3 -3y^2 = x^3 + x -2, xin(-1,1)

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