Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
e determine o intervalo de validade da solução.
Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.
Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis, e determinar o intervalo maximal de existência da solução, isto é, até onde não ocorrem tangentes verticais (denominador zero).
Passo 2
Separamos as variáveis levando todos os termos em
para o lado esquerdo e em
para o direito:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Aplicamos
. Em
,
dá
Logo a solução implícita é
Passo 5
O intervalo de validade termina onde
, pois aí a tangente fica vertical.
Esses pontos são ou
.
Em : da relação implícita vem
, ou seja
Esses pontos são
Em
Em
: temos
, isto é
Portanto, a solução existe para
.