Resolver os seguintes problemas:
A equação do movimento de uma partícula, é dada por y=t^4-4 t^3+2, t >= 0, onde y está em metros e t, em segundos. Encontre
i. O instante em que a aceleração é 0 .
ii. O deslocamento e a velocidade nesse instante.

Passo 1

O enunciado dá a posição y de uma partícula em função do tempo t>=0 como
y(t)=t^4 - 4t^3 + 2,
medida em metros. Pede-se i) o instante em que a aceleração é zero e ii) o deslocamento e a velocidade nesse instante.
Conteúdo necessário: derivadas de primeira ordem para obter a velocidade e de segunda ordem para obter a aceleração.

Passo 2

Calculamos a velocidade v(t) como a derivada primeira de y(t):
v(t)=y'(t)=ddtl(t^4 - 4t^3 +2r) =4t^3 - 12t^2

Passo 3

A aceleração a(t) é a derivada de v(t), isto é, a segunda derivada de y(t):
a(t)=v'(t)=ddtl(4t^3 -12t^2r) =12t^2 -24t =12t,(t-2)

Passo 4

Para achar quando a(t)=0 resolvemos
12t,(t-2)=0 Longrightarrow t=0ou t=2 (s)
O instante não trivial em que a aceleração se anula é t=2 s.

Passo 5

Agora determinamos a posição e a velocidade em t=2.
A posição
y(2)=2^4 -4cdot2^3 +2 =16 -32 +2 =-14 (m)
A velocidade
v(2)=4cdot2^3 -12cdot2^2 =32 -48 =-16 (m/s)

Resposta

O instante em que a aceleração é zero (além de t=0) é t=2 s. Nesse instante o deslocamento é -14 m e a velocidade é -16 m/s.

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