Encontre cada ponto crítico e determine os extremos locais
g(x)=x+1x^2+2 x+2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
g(x)=x+1x^2+2x+2
e determinar seus extremos locais.
Conteúdo aplicado: derivada de quociente e estudo de monotonicidade para achar máximos e mínimos locais.

Passo 2

Vamos calcular g'(x) usando a regra do quociente:
g'(x) =(x^2+2x+2)cdotddx(x+1)-(x+1)cdotddx(x^2+2x+2)(x^2+2x+2)^2
Como ddx(x+1)=1 e ddx(x^2+2x+2)=2x+2, temos
g'(x) =x^2+2x+2-(x+1)(2x+2)(x^2+2x+2)^2 =x^2+2x+2-2(x+1)^2(x^2+2x+2)^2 =-x(x+2)(x^2+2x+2)^2

Passo 3

Os pontos críticos são onde g'(x)=0 ou g'(x) não está definida. Note que x^2+2x+2 nunca zera (discriminante negativo), logo o domínio é todo R e o denominador de g'(x) é sempre positivo. Assim,
g'(x)=0Longrightarrow -x(x+2)=0
isso dá
x=0ou x=-2

Passo 4

Para classificar os extremos, analisamos o sinal de g'(x)=-x(x+2)/()^2. Como o denominador é positivo, o sinal vem de -x(x+2):
  • Se x<-2, então x(x+2)>0 e g'(x)<0 (função decrescente).
  • Se -2<x<0, então x(x+2)<0 e g'(x)>0 (função crescente).
  • Se x>0, então x(x+2)>0 e g'(x)<0 (função decrescente).
Logo em x=-2 a função muda de decrescente para crescente (mínimo local) e em x=0 muda de crescente para decrescente (máximo local).

Passo 5

Calculamos os valores de g nesses pontos:
g(-2)=-2+1(-2)^2+2(-2)+2=-14-4+2=-tfrac12, g(0)=0+10+0+2=tfrac12

Resposta

Pontos críticos e extremos locais:
x=-2,&mínimo local com g(-2)=-tfrac12, x=0,&máximo local com g(0)=tfrac12 íá

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