Encontre cada ponto crítico e determine os extremos locais
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
e determinar seus extremos locais.
Conteúdo aplicado: derivada de quociente e estudo de monotonicidade para achar máximos e mínimos locais.
Conteúdo aplicado: derivada de quociente e estudo de monotonicidade para achar máximos e mínimos locais.
Passo 2
Vamos calcular
usando a regra do quociente:
Como
e
, temos
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou
não está definida. Note que
nunca zera (discriminante negativo), logo o domínio é todo
e o denominador de
é sempre positivo. Assim,
isso dá
Passo 4
Para classificar os extremos, analisamos o sinal de
. Como o denominador é positivo, o sinal vem de
:
- Se
, então e (função decrescente). - Se
, então e (função crescente). - Se
, então e (função decrescente).
Logo em
a função muda de decrescente para crescente (mínimo local) e em
muda de crescente para decrescente (máximo local).
Passo 5
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Resposta
Pontos críticos e extremos locais: