Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
e determinar onde a solução atinge seu valor mínimo.
O conteúdo é EDO de variável separável; vamos usar separação de variáveis para obter a solução analítica e, antes, comentar brevemente vantagens e desvantagens desse método frente a aproximações numéricas.
O conteúdo é EDO de variável separável; vamos usar separação de variáveis para obter a solução analítica e, antes, comentar brevemente vantagens e desvantagens desse método frente a aproximações numéricas.
Passo 2
Vantagens da abordagem analítica:
– fornece expressão fechada de , permitindo análise global e exata de singularidades e extremos;
– não acarreta erro de discretização.
Desvantagens da abordagem analítica:
– só funciona quando a EDO é integrável em forma fechada (muitas vezes inviável);
– pode levar a integrais elementares intratáveis.
Vantagens da abordagem numérica:
– é geral, trata casos em que não existe solução fechada;
– facilmente implementada em computador.
Desvantagens da abordagem numérica:
– gera erro de aproximação e requer escolha de passo de integração;
– fornece apenas valores discretos, sem expressão contínua.
– fornece expressão fechada de
– não acarreta erro de discretização.
Desvantagens da abordagem analítica:
– só funciona quando a EDO é integrável em forma fechada (muitas vezes inviável);
– pode levar a integrais elementares intratáveis.
Vantagens da abordagem numérica:
– é geral, trata casos em que não existe solução fechada;
– facilmente implementada em computador.
Desvantagens da abordagem numérica:
– gera erro de aproximação e requer escolha de passo de integração;
– fornece apenas valores discretos, sem expressão contínua.
Passo 3
Fazemos separação de variáveis:
Integramos ambos os lados:
Passo 4
Aplicando a condição inicial
:
Logo
Passo 5
Para achar o mínimo, note que
O único ponto crítico ocorre em
, ou seja
Como para
temos
(decrescente) e para
temos
(crescente), em
a solução atinge seu valor mínimo. Esse valor é
Resposta
A solução do IVP é
e o valor mínimo ocorre em
, com