Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
y^prime=2 y^2+x y^2, y(0)=1
e determine onde a solução atinge seu valor mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = 2y^2 + x,y^2, y(0)=1
e determinar onde a solução atinge seu valor mínimo.
O conteúdo é EDO de variável separável; vamos usar separação de variáveis para obter a solução analítica e, antes, comentar brevemente vantagens e desvantagens desse método frente a aproximações numéricas.

Passo 2

Vantagens da abordagem analítica:
– fornece expressão fechada de y(x), permitindo análise global e exata de singularidades e extremos;
– não acarreta erro de discretização.
Desvantagens da abordagem analítica:
– só funciona quando a EDO é integrável em forma fechada (muitas vezes inviável);
– pode levar a integrais elementares intratáveis.
Vantagens da abordagem numérica:
– é geral, trata casos em que não existe solução fechada;
– facilmente implementada em computador.
Desvantagens da abordagem numérica:
– gera erro de aproximação e requer escolha de passo de integração;
– fornece apenas valores discretos, sem expressão contínua.

Passo 3

Fazemos separação de variáveis:
y' = (2 + x),y^2 ;Longrightarrow; dyy^2 = (2 + x),dx
Integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral (2 + x),dx ;Longrightarrow; -1y = 2x + x^22 + C

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
-11 = 0 + 0 + C ;Longrightarrow; C = -1
Logo
-1y = 2x + x^22 - 1 ;Longrightarrow; y(x) = 11 - 2x - tfracx^22

Passo 5

Para achar o mínimo, note que
y' = y^2,(2 + x)
O único ponto crítico ocorre em 2 + x = 0, ou seja
x = -2
Como para x< -2 temos y'<0 (decrescente) e para x> -2 temos y'>0 (crescente), em x=-2 a solução atinge seu valor mínimo. Esse valor é
y(-2) = 11 -2(-2) - tfrac(-2)^22 = 11 + 4 - 2 = 13

Resposta

A solução do IVP é
y(x) = 11 - 2x - tfracx^22,
e o valor mínimo ocorre em x=-2, com
y(-2) = 13

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