Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
e determine onde a solução atinge seu valor máximo.
Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado tem duas partes: primeiro, refletir sobre vantagens e desvantagens de resolver problemas de valor inicial por métodos analíticos versus aproximações numéricas; depois, resolver o problema
O conteúdo envolve ODE separável e análise de pontos críticos para determinar máximos.
Passo 2
Usar solução analítica traz as vantagens de obter uma expressão exata para
, o que dá pleno entendimento do comportamento global da solução, permite derivar propriedades como continuidade e monotonicidade, e fornece fórmulas para parâmetros — mas às vezes não é possível achar a forma fechada, ou a expressão fica tão complexa que não ajuda em cálculos práticos. Já as aproximações numéricas (por exemplo, Runge–Kutta) funcionam para quase toda ODE, mesmo sem solução exata, e dão valores numéricos rápidos em pontos desejados; porém, introduzem erros de truncamento e estabilidade, não mostram a dependência analítica exata em parâmetros e exigem cuidado com tamanho de passo e controle de erro.
Passo 3
Para resolver
vemos que é separável. Escrevemos
e integramos ambos os lados.
Passo 4
Integral de
:
Integral de
:
Igualando e absorvendo constantes em
:
Aplicando
dá
logo a forma implícita é
Resolvendo para
pela fórmula de Bhaskara:
Como
, usamos o sinal
(em
a raiz é
e
). Portanto
Passo 5
Para achar onde atinge máximo, basta ver onde
. Como
o numerador zera em
, isto é,
Como para
temos
(solução crescente) e para
temos
(solução decrescente), conclui-se que em
ocorre um máximo. Substituindo em
:
Resposta
A solução analítica é
e ela atinge seu valor máximo em
, valendo