Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
y^prime=2-e^x3+2 y, y(0)=0
e determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado tem duas partes: primeiro, refletir sobre vantagens e desvantagens de resolver problemas de valor inicial por métodos analíticos versus aproximações numéricas; depois, resolver o problema
y' = 2 - e^x3 + 2y, y(0)=0
O conteúdo envolve ODE separável e análise de pontos críticos para determinar máximos.

Passo 2

Usar solução analítica traz as vantagens de obter uma expressão exata para y(x), o que dá pleno entendimento do comportamento global da solução, permite derivar propriedades como continuidade e monotonicidade, e fornece fórmulas para parâmetros — mas às vezes não é possível achar a forma fechada, ou a expressão fica tão complexa que não ajuda em cálculos práticos. Já as aproximações numéricas (por exemplo, Runge–Kutta) funcionam para quase toda ODE, mesmo sem solução exata, e dão valores numéricos rápidos em pontos desejados; porém, introduzem erros de truncamento e estabilidade, não mostram a dependência analítica exata em parâmetros e exigem cuidado com tamanho de passo e controle de erro.

Passo 3

Para resolver
y' = 2 - e^x3 + 2y,
vemos que é separável. Escrevemos
(3 + 2y),dy = (2 - e^x),dx
e integramos ambos os lados.

Passo 4

Integral de y:
integral (3 + 2y),dy = 3y + y^2 + C1
Integral de x:
integral(2 - e^x),dx = 2x - e^x + C2
Igualando e absorvendo constantes em C:
y^2 + 3y = 2x - e^x + C
Aplicando y(0)=0
0 + 0 = 0 - 1 + Cimplies C=1,
logo a forma implícita é
y^2 + 3y = 2x - e^x + 1
Resolvendo para y pela fórmula de Bhaskara:
y = -3 pm raiz9 +4(2x - e^x +1)2 = -3 pm raiz13 +8x -4e^x2
Como y(0)=0, usamos o sinal + (em x=0 a raiz é raiz9=3 e tfrac-3+32=0). Portanto
boxedy(x)=-3 + raiz13 +8x -4e^x2

Passo 5

Para achar onde atinge máximo, basta ver onde y'=0. Como
y' = 2 - e^x3 + 2y,
o numerador zera em 2 - e^x=0, isto é,
x = ln2
Como para x<ln2 temos 2-e^x>0 (solução crescente) e para x>ln2 temos 2-e^x<0 (solução decrescente), conclui-se que em x=ln2 ocorre um máximo. Substituindo em y(x):
ymax =-3 + raiz13 +8ln2 -4cdot22 =-3 + raiz5 +8ln22

Resposta

A solução analítica é
y(x)=-3 + raiz13 +8x -4e^x2,
e ela atinge seu valor máximo em x=ln2, valendo
ymax=-3 + raiz5 +8ln22

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