Determine os valores mínimo e máximo absolutos para cada função no intervalo dado e informe onde ela os assume.
f(x)=x4+1x, [1,5]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos absolutos da função
f(x)=x4+1x
no intervalo fechado [1,5]. Esse é um problema de cálculo de máximos e mínimos em intervalo fechado, em que usamos derivada para achar pontos críticos e comparamos com os valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calcular a derivada de f e achar os pontos críticos internos.
f'(x)=14-1x^2
Igualando a zero,
14-1x^2=0 Longrightarrow x^2=4 Longrightarrow x=2
(desprezamos a raiz negativa pois o domínio é x>0). Analisando o sinal de f', vemos que em (1,2) a derivada é negativa e em (2,5) é positiva, indicando que x=2 é ponto de mínimo local.

Passo 3

Avaliar f nos pontos relevantes x=1, x=2 e x=5:
f(1)=14+;1=54, f(2)=24+12=1, f(5)=54+15=2920

Passo 4

Comparando os três valores:
f(2)=1, f(1)=tfrac54=1,25, f(5)=tfrac2920=1,45,
vemos que o menor valor é 1 em x=2 e o maior valor é tfrac2920 em x=5.

Resposta

O mínimo absoluto é 1, que ocorre em x=2.
O máximo absoluto é tfrac2920, que ocorre em x=5.

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