Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Considere o problema de valor inicial
y^prime=t y(4-y)1+t, y(0)=y0>0
a. Determine o comportamento da solução quando t infty.

Passo 1

Temos o problema de valor inicial para uma EDO separável
y'=t,y,(4-y)1+t, y(0)=y0>0
Vamos resolver analiticamente por separação de variáveis e extrair o comportamento de y(t) quando ttoinfty.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dyy(4-y)=t1+t,dt
Para integrar o lado esquerdo, use frações parciais:
1y(4-y)=14l(1y+14-yr)

Passo 3

Integre cada membro:
integral dyy(4-y) =14integrall(1y+14-yr)dy =14l(ln y-ln(4-y)r),
integral t1+t,dt =integrall(1-11+tr)dt =t-ln(1+t)
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14l(ln y-ln(4-y)r) =t-ln(1+t)+C

Passo 4

Multiplique por 4, reúna constantes e exponencie:
lny4-y=4t-4ln(1+t)+C' Longrightarrow y4-y=Ae^4t(1+t)^4,
onde A=e^C'.
Impondo t=0, y(0)=y0
A=y04-y0
Assim
y4-y =y04-y0,e^4t(1+t)^4 Longrightarrow y(t) =4,y04-y0e^4t1+y04-y0e^4t(1+t)^4 =4,e^4ty0(4-y0)(1+t)^4+y0,e^4t

Passo 5

Para ttoinfty observa-se que e^4t/(1+t)^4toinfty. No denominador, o termo y0e^4t domina, logo
y(t);longrightarrow;4

Resposta

limttoinftyy(t)=4.

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