Seja f(x, y)=integral0^y ln (x) 2 tt^4+4 t^2+5 d t. Calcule partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral:
f(x, y) = integral0^y ln (x) 2 tt^4+4 t^2+5 , dt
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a x e y no ponto (1,1) , ou seja, calcular partial fpartial x(1,1) e partial fpartial y(1,1) .
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de Leibniz para derivação de integrais dependentes de parâmetros. Basicamente, ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma integral cujo limite de integração depende da variável em relação à qual estamos derivando.

Passo 2

Vamos começar calculando partial fpartial x . Segundo a Regra de Leibniz, se temos:
f(x, y) = integrala(x, y)^b(x, y) g(t) , dt
Então, a derivada parcial em relação a x é:
partial fpartial x = g(b(x, y)) cdot partial bpartial x - g(a(x, y)) cdot partial apartial x + integrala(x, y)^b(x, y) partial gpartial x , dt
No nosso caso, a função dentro da integral, g(t) = 2tt^4 + 4t^2 + 5 , não depende de x , então partial gpartial x = 0 . Além disso, o limite inferior a(x, y) = 0 também não depende de x , então partial apartial x = 0 .
Portanto, a derivada simplifica para:
partial fpartial x = g(b(x, y)) cdot partial bpartial x

Passo 3

Vamos identificar b(x, y) e calcular sua derivada em relação a x . No nosso caso:
b(x, y) = y ln(x)
Calculando partial bpartial x :
Sabemos que a derivada de ln(x) em relação a x é 1x . Então,
partial bpartial x = y cdot 1x

Passo 4

Agora substituímos tudo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x = 2bb^4 + 4b^2 + 5 cdot yx
Queremos avaliar isso no ponto (1,1) . Então, substituímos x = 1 e y = 1 :
Primeiro, calculamos b(1,1) = 1 cdot ln(1) . Sabemos que ln(1) = 0 , então b = 0 .
Substituindo na expressão:
partial fpartial x(1,1) = 2 cdot 00^4 + 4 cdot 0^2 + 5 cdot 11 = 0

Passo 5

Agora vamos calcular partial fpartial y . Novamente, usando a Regra de Leibniz:
partial fpartial y = g(b(x, y)) cdot partial bpartial y - g(a(x, y)) cdot partial apartial y + integrala(x, y)^b(x, y) partial gpartial y , dt
No nosso caso, g(t) não depende de y , então partial gpartial y = 0 . O limite inferior a(x, y) = 0 também não depende de y , então partial apartial y = 0 .
Então, a derivada parcial em relação a y fica:
partial fpartial y = g(b(x, y)) cdot partial bpartial y

Passo 6

Vamos identificar partial bpartial y . Lembrando que:
b(x, y) = y ln(x)
A derivada de b em relação a y é simplesmente ln(x) , já que x é tratado como constante ao derivar em relação a y .
Então,
partial bpartial y = ln(x)

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial y = 2bb^4 + 4b^2 + 5 cdot ln(x)
Agora, avaliamos no ponto (1,1) . Já sabemos que b(1,1) = 0 e ln(1) = 0 . Então:
partial fpartial y(1,1) = 2 cdot 00^4 + 4 cdot 0^2 + 5 cdot 0 = 0

Resposta

Ambas as derivadas parciais no ponto (1,1) são iguais a zero:
partial fpartial x(1,1) = 0
partial fpartial y(1,1) = 0

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