Seja
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e
no ponto
, ou seja, calcular
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de Leibniz para derivação de integrais dependentes de parâmetros. Basicamente, ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma integral cujo limite de integração depende da variável em relação à qual estamos derivando.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Segundo a Regra de Leibniz, se temos:
Então, a derivada parcial em relação a
é:
No nosso caso, a função dentro da integral,
, não depende de
, então
. Além disso, o limite inferior
também não depende de
, então
.
Portanto, a derivada simplifica para:
Passo 3
Vamos identificar
e calcular sua derivada em relação a
. No nosso caso:
Calculando
:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Então,
Passo 4
Agora substituímos tudo de volta na expressão da derivada parcial:
Queremos avaliar isso no ponto
. Então, substituímos
e
:
Primeiro, calculamos
. Sabemos que
, então
.
Substituindo na expressão:
Passo 5
Agora vamos calcular
. Novamente, usando a Regra de Leibniz:
No nosso caso,
não depende de
, então
. O limite inferior
também não depende de
, então
.
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 6
Vamos identificar
. Lembrando que:
A derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Então,
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Agora, avaliamos no ponto
. Já sabemos que
e
. Então:
Resposta
Ambas as derivadas parciais no ponto
são iguais a zero: