Determine partial zpartial x e partial zpartial y se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela equação
x^2 z+y^3 z^2+z^2(x-2 y)=x y z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e y , ou seja, partial zpartial x e partial zpartial y . O z está definido de forma implícita pela equação:
x^2 z + y^3 z^2 + z^2(x - 2 y) = x y z
Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão misturadas numa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a diferenciação. Vamos expandir os termos:
x^2 z + y^3 z^2 + x z^2 - 2 y z^2 = x y z
Agrupando os termos semelhantes:
x^2 z + x z^2 + y^3 z^2 - 2 y z^2 - x y z = 0
Agora, temos uma equação mais organizada para trabalhar.

Passo 3

Vamos encontrar partial zpartial x . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x , lembrando que z é uma função de x e y . Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar termos que envolvem z .
Diferenciando cada termo:
  1. partialpartial x(x^2 z) = 2x z + x^2 partial zpartial x
  2. partialpartial x(x z^2) = z^2 + 2x z partial zpartial x
  3. partialpartial x(y^3 z^2) = y^3 cdot 2z partial zpartial x
  4. partialpartial x(-2 y z^2) = -2 y cdot 2z partial zpartial x
  5. partialpartial x(-x y z) = -y z - x y partial zpartial x
Somando tudo e igualando a zero:
2x z + x^2 partial zpartial x + z^2 + 2x z partial zpartial x + 2 y^3 z partial zpartial x - 4 y z partial zpartial x - y z - x y partial zpartial x = 0

Passo 4

Vamos isolar partial zpartial x . Primeiro, agrupamos os termos que contêm partial zpartial x :
(x^2 + 2x z + 2 y^3 z - 4 y z - x y) partial zpartial x = -2x z - z^2 + y z
Agora, resolvemos para partial zpartial x :
partial zpartial x = -2x z - z^2 + y zx^2 + 2x z + 2 y^3 z - 4 y z - x y

Passo 5

Agora, vamos encontrar partial zpartial y . O processo é similar: diferenciamos a equação original em relação a y .
Diferenciando cada termo:
  1. partialpartial y(x^2 z) = x^2 partial zpartial y
  2. partialpartial y(x z^2) = x cdot 2z partial zpartial y
  3. partialpartial y(y^3 z^2) = 3y^2 z^2 + y^3 cdot 2z partial zpartial y
  4. partialpartial y(-2 y z^2) = -2 z^2 - 2 y cdot 2z partial zpartial y
  5. partialpartial y(-x y z) = -x z -x y partial zpartial y
Somando tudo e igualando a zero:
x^2 partial zpartial y + 2x z partial zpartial y + 3y^2 z^2 + 2 y^3 z partial zpartial y - 2 z^2 - 4 y z partial zpartial y - x z - x y partial zpartial y = 0

Passo 6

Vamos isolar partial zpartial y :
(x^2 + 2x z + 2 y^3 z - 4 y z - x y) partial zpartial y = -3y^2 z^2 + 2 z^2 + x z
Então,
partial zpartial y = -3y^2 z^2 + 2 z^2 + x zx^2 + 2x z + 2 y^3 z - 4 y z - x y

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -2x z - z^2 + y zx^2 + 2x z + 2 y^3 z - 4 y z - x y
e
partial zpartial y = -3y^2 z^2 + 2 z^2 + x zx^2 + 2x z + 2 y^3 z - 4 y z - x y

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