Determine
e
se
é definido implicitamente como uma função de
e
pela equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. O
está definido de forma implícita pela equação:
Para resolver isso, vamos usar diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando as variáveis estão misturadas numa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a diferenciação. Vamos expandir os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, temos uma equação mais organizada para trabalhar.
Passo 3
Vamos encontrar
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia para derivar termos que envolvem
.
Diferenciando cada termo:
Somando tudo e igualando a zero:
Passo 4
Vamos isolar
. Primeiro, agrupamos os termos que contêm
:
Agora, resolvemos para
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. O processo é similar: diferenciamos a equação original em relação a
.
Diferenciando cada termo:
Somando tudo e igualando a zero:
Passo 6
Vamos isolar
:
Então,
Resposta
As derivadas parciais são:
e