Resolver os seguintes problemas:
A água está escorregando para fora de um funil cônico a uma razão de 2 m^3 / s O funil possui um raio de um metro e altura de cinco metros. Com que velocidade abaixará o nível da água que se escoa quando ela estiver a 3 m de altura?

Passo 1

O enunciado descreve um funil cônico de raio 1 m e altura 5 m, no qual a água escoa para fora à razão dVdt = -2 m^3/s. O objetivo é achar a velocidade de variação do nível da água h(t) quando h = 3 m. O conteúdo principal é taxa relacionada entre volume de um cone e sua altura, usando semelhança de triângulos e diferenciação implícita.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o cone total e o cone de água temos
rh=15
logo
r=h5
O volume da água (um cone de raio r e altura h) é
V=13pi r^2h =13pil(h5r)^2h =pi,h^375

Passo 3

Diferenciando em função do tempo t,
dVdt =ddtl(pi,h^375r) =pi75cdot3h^2,dhdt =pi,h^225,dhdt

Passo 4

Como dVdt=-2 m^3/s, temos
-2 =pi,h^225,dhdt Longrightarrow dhdt =-2;/;pi,h^225 =-2cdot25pi,h^2 =-50pi,h^2
Quando h=3 m:
dhdtl|h=3 =-50picdot3^2 =-509pim/s

Resposta

dhdt=-509pi m/s,
ou seja, o nível da água desce à velocidade tfrac509pi m/s.

Exercícios relacionados