Alguns dos resultados pedidos nos Problemas de 21 a 28 podem ser obtidos resolvendo-sé a equaçio dada analiticamente ou gerando-se grificos de aproximacôes numericas das soluçles. Tente formar uma opinilo sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
e determine o intervalo de validade da soluçla
Sugentio: Para encontrar o intervalo de validade, procure pontos onde a curva integral tem uma tangente vertical.
Resolva o problema de valor inicial
Sugentio: Para encontrar o intervalo de validade, procure pontos onde a curva integral tem uma tangente vertical.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar
e
, integrar, aplicar a condição inicial e depois determinar o intervalo de validade da solução procurando onde a tangente fica vertical (isto é, onde o denominador
zera).
Passo 2
Antes de partir para a solução analítica, vale comentar as duas abordagens:
– Resolução analítica dá uma expressão exata (mesmo que implícita), permite entender singularidades e intervalos de validade, mas às vezes leva a funções implícitas ou complicadas de inverter.
– Aproximações numéricas (por exemplo método de Euler, Runge–Kutta) são fáceis de implementar para praticamente qualquer equação e permitem explorar o comportamento qualitativo, porém são só aproximadas, dependem de passo de integração e podem “pular” singularidades ou apresentar erro acumulado.
– Resolução analítica dá uma expressão exata (mesmo que implícita), permite entender singularidades e intervalos de validade, mas às vezes leva a funções implícitas ou complicadas de inverter.
– Aproximações numéricas (por exemplo método de Euler, Runge–Kutta) são fáceis de implementar para praticamente qualquer equação e permitem explorar o comportamento qualitativo, porém são só aproximadas, dependem de passo de integração e podem “pular” singularidades ou apresentar erro acumulado.
Passo 3
Separemos variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo
e no direito
Reunindo constantes em
, obtemos
Passo 5
Usamos
:
Logo a solução implícita é
Passo 6
Para achar o intervalo de validade, identificamos onde a derivada se torna infinita, isto é, onde
\Rightarrow \ y=0 ou y=2. Nessas alturas a curva integral teria tangente vertical.
Passo 7
Agora encontramos os valores de
em que a solução atinge
e
.
. Para
:
Temos raiz
.
. Para
:
Temos raiz
.
Começando em
com
, a solução existe enquanto
.
Resposta
Solução implícita:
intervalo de validade: