Alguns dos resultados pedidos nos Problemas de 21 a 28 podem ser obtidos resolvendo-sé a equaçio dada analiticamente ou gerando-se grificos de aproximacôes numericas das soluçles. Tente formar uma opinilo sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
y^prime=(1+3 x^2) /(3 y^2-6 y), y(0)=1
e determine o intervalo de validade da soluçla
Sugentio: Para encontrar o intervalo de validade, procure pontos onde a curva integral tem uma tangente vertical.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'=1+3x^23y^2-6y, y(0)=1
Esse é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar y e x, integrar, aplicar a condição inicial e depois determinar o intervalo de validade da solução procurando onde a tangente fica vertical (isto é, onde o denominador 3y^2-6y zera).

Passo 2

Antes de partir para a solução analítica, vale comentar as duas abordagens:
– Resolução analítica dá uma expressão exata (mesmo que implícita), permite entender singularidades e intervalos de validade, mas às vezes leva a funções implícitas ou complicadas de inverter.
– Aproximações numéricas (por exemplo método de Euler, Runge–Kutta) são fáceis de implementar para praticamente qualquer equação e permitem explorar o comportamento qualitativo, porém são só aproximadas, dependem de passo de integração e podem “pular” singularidades ou apresentar erro acumulado.

Passo 3

Separemos variáveis multiplicando ambos os lados por (3y^2-6y),dx:
(3y^2-6y),dy = (1+3x^2),dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral(3y^2-6y),dy = integral(1+3x^2),dx
No lado esquerdo
integral3y^2,dy - integral6y,dy = y^3 - 3y^2 + C1,
e no direito
integral1,dx + integral3x^2,dx = x + x^3 + C2
Reunindo constantes em C, obtemos
y^3 - 3y^2 = x + x^3 + C

Passo 5

Usamos y(0)=1:
1^3 - 3cdot1^2 = 0 + 0 + C Longrightarrow -2 = C
Logo a solução implícita é
y^3 - 3y^2 = x + x^3 - 2

Passo 6

Para achar o intervalo de validade, identificamos onde a derivada se torna infinita, isto é, onde
3y^2 - 6y = 3y(y-2) = 0
\Rightarrow \ y=0 ou y=2. Nessas alturas a curva integral teria tangente vertical.

Passo 7

Agora encontramos os valores de x em que a solução atinge y=2 e y=0.
1. Para y=2:
2^3 - 3cdot2^2 = x + x^3 - 2 Longrightarrow 8 - 12 = x^3 + x - 2 Longrightarrow -4 = x^3 + x - 2 Longrightarrow x^3 + x + 2 = 0
Temos raiz x=-1.
2. Para y=0:
0 - 0 = x + x^3 - 2 Longrightarrow 0 = x^3 + x - 2
Temos raiz x=1.
Começando em x=0 com y=1, a solução existe enquanto -1<x<1.

Resposta

Solução implícita:
y^3 - 3y^2 = x + x^3 - 2,
intervalo de validade:
-1 < x < 1

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