Estabeleça a equação de cada uma das hipérboles a seguir, sabendo que:
a) tem assíntotas de equações y=2 x e y=-2 x e vértices em V1=(-3,0) e V2=(3,0);

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole que tem assíntotas de equações y=2x e y=-2x e vértices em V1=(-3,0) e V2=(3,0). O conteúdo envolvido é a forma canônica da hipérbole horizontal
(x-h)^2a^2-(y-k)^2b^2=1,
onde (h,k) é o centro, a é o semi-eixo transverse (distância do centro a cada vértice) e b está ligado ao declive das assíntotas, que são
y-k=pmba,(x-h)

Passo 2

O centro (h,k) é o ponto médio dos vértices V1(-3,0) e V2(3,0). Calculando coordenadas médias:
h=-3+32=0, k=0+02=0
Logo a hipérbole é centrada em (0,0).

Passo 3

O comprimento total do eixo transverso é a distância entre os vértices, que vale 6. Assim o semi-eixo transverse é
a=62=3

Passo 4

Para hipérbole centrada em (0,0) e eixo horizontal, as assíntotas são
y=pmba,x
Como os declives são 2 e -2, tem-se tfracba=2. Substituindo a=3 vem
b=2cdot3=6

Passo 5

Substituindo h=0, k=0, a=3 e b=6 na forma canônica obtemos
(x-0)^23^2-(y-0)^26^2=1
ou seja
x^29-y^236=1

Resposta

x^29-y^236=1

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