Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada elipse a seguir no ponto indicado.
b) x^2+4 y^2-2 x+8 y=35 em(3,2).

Passo 1

O enunciado dá a elipse definida implicitamente por
x^2 + 4y^2 - 2x + 8y = 35
e pede a reta tangente e a reta normal no ponto (3,2). Vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e daí obter as equações das retas.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
ddx(x^2) + ddx(4y^2) - ddx(2x) + ddx(8y) = ddx(35)
ou seja
2x + 8y,y' - 2 + 8,y' = 0
Agrupando os termos em y', resulta
(8y + 8),y' + 2x - 2 = 0 Longrightarrow y' = -2x + 28(y + 1) = -(x - 1)4(y + 1)

Passo 3

No ponto (3,2) a inclinação da tangente é
mt = y'l|(3,2) = -(3 - 1)4(2 + 1) = -212 = -tfrac16

Passo 4

A equação da reta tangente, usando a forma ponto-declive y - y0 = mt(x - x0), fica
y - 2 = -tfrac16(x - 3)
Em forma explícita:
y = -tfrac16x + tfrac52

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é
mn = -1mt = -1-tfrac16 = 6
Usando novamente forma ponto-declive,
y - 2 = 6(x - 3) Longrightarrow y = 6x - 16

Resposta

Reta tangente:
y - 2 = -tfrac16(x - 3) ou y = -tfrac16x + tfrac52
Reta normal:
y - 2 = 6(x - 3) ou y = 6x - 16

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