Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada elipse a seguir no ponto indicado.
b) .
Passo 1
O enunciado dá a elipse definida implicitamente por
e pede a reta tangente e a reta normal no ponto . Vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e daí obter as equações das retas.
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a , temos
ou seja
Agrupando os termos em , resulta
Passo 3
No ponto a inclinação da tangente é
Passo 4
A equação da reta tangente, usando a forma ponto-declive y - y0 = mt(x - x0), fica
y - 2 = -tfrac16(x - 3)
Em forma explícita:
y = -tfrac16x + tfrac52
Passo 5
A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é
mn = -1mt = -1-tfrac16 = 6
Usando novamente forma ponto-declive,
y - 2 = 6(x - 3) Longrightarrow y = 6x - 16
Resposta
Reta tangente:
y - 2 = -tfrac16(x - 3) ou y = -tfrac16x + tfrac52