O segmento de reta que passa pelo foco de uma parábola, é paralelo à sua diretriz e tem as suas extremidades na própria parábola é chamado o lactus rectum da parábola. Mostre que a medida do lactus rectum é o dobro da distância entre o foco e a diretriz.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, numa parábola, o comprimento do latus rectum (o segmento que passa pelo foco, é paralelo à diretriz e tem extremidades na curva) vale o dobro da distância entre o foco e a diretriz. Vamos usar geometria analítica: escolher eixos tais que o foco seja e a diretriz seja a reta , com .
Passo 2
Pela definição da parábola, um ponto satisfaz
ou seja
Quadrando ambos os lados e simplificando, obtemos
Passo 3
O latus rectum é a reta que passa pelo foco e é paralela à diretriz , logo sua equação é
Passo 4
Para encontrar os pontos de interseção dessa reta com a parábola, substituímos em , obtendo
Logo os pontos extremos do latus rectum são e .
Passo 5
O comprimento do segmento que une e é simplesmente a diferença em , ou seja
Passo 6
A distância entre o foco (p,0) e a diretriz x=-p é
l|p - (-p)r| = 2p
Passo 7
Comparando os resultados, vemos que o comprimento do latus rectum é
4p = 2 times (2p),
isto é, o dobro da distância entre o foco e a diretriz.
Resposta
O latus rectum mede o dobro da distância entre foco e diretriz.