O segmento de reta que passa pelo foco de uma parábola, é paralelo à sua diretriz e tem as suas extremidades na própria parábola é chamado o lactus rectum da parábola. Mostre que a medida do lactus rectum é o dobro da distância entre o foco e a diretriz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, numa parábola, o comprimento do latus rectum (o segmento que passa pelo foco, é paralelo à diretriz e tem extremidades na curva) vale o dobro da distância entre o foco e a diretriz. Vamos usar geometria analítica: escolher eixos tais que o foco seja (p,0) e a diretriz seja a reta x=-p, com p>0.

Passo 2

Pela definição da parábola, um ponto (x,y) satisfaz
PF = distância de (x,y) à diretrizâà
ou seja
raiz(x - p)^2 + y^2 = x + p
Quadrando ambos os lados e simplificando, obtemos
(x-p)^2 + y^2 = (x+p)^2
x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2
y^2 = 4px

Passo 3

O latus rectum é a reta que passa pelo foco (p,0) e é paralela à diretriz x=-p, logo sua equação é
x = p

Passo 4

Para encontrar os pontos de interseção dessa reta com a parábola, substituímos x=p em y^2 = 4px, obtendo
y^2 = 4pcdot p = 4p^2
y = pm 2p
Logo os pontos extremos do latus rectum são l(p,2pr) e l(p,-2pr).

Passo 5

O comprimento do segmento que une l(p,2pr) e l(p,-2pr) é simplesmente a diferença em y, ou seja
l|2p - (-2p)r| = 4p

Passo 6

A distância entre o foco (p,0) e a diretriz x=-p é
l|p - (-p)r| = 2p

Passo 7

Comparando os resultados, vemos que o comprimento do latus rectum é
4p = 2 times (2p),
isto é, o dobro da distância entre o foco e a diretriz.

Resposta

O latus rectum mede o dobro da distância entre foco e diretriz.

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