Escreva a integral que calcula a área da região do plano cartesiano de equação geral x^2+4 y^2-2 x-3=0.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral dupla que calcula a área da região do plano definida por
x^2 + 4y^2 - 2x - 3 = 0
O conteúdo envolvido é área de uma região via integração dupla em coordenadas cartesianas. Para montar os limites, primeiro vamos reconhecer e padronizar a curva.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Substituindo na equação original,
(x - 1)^2 - 1 + 4y^2 - 3 = 0 ;Longrightarrow; (x - 1)^2 + 4y^2 = 4
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos a forma canônica da elipse:
(x - 1)^24 + y^2 = 1
Logo a região interna satisfaz
(x - 1)^24 + y^2 <= 1
Dessa forma x varia de 1 - 2 = -1 até 1 + 2 = 3, e para cada x fixo,
y in l[-raiz,1 - tfrac(x - 1)^24,,,;raiz,1 - tfrac(x - 1)^24,r]

Passo 3

Com esses limites, a integral dupla que dá a área A é
A ;=; integralx=-1^3 integraly=-raiz1-(x-1)^24^raiz1-(x-1)^24 dy,dx

Resposta

A = integral-1^3 integral-raiz1-(x-1)^24^raiz1-(x-1)^24 dy,dx

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