Há alguns testes que são realizados utilizando a derivada, como o teste da derivada primeira que nos diz onde uma função é crescente e onde é decrescente. Além disso, tal teste revela se um mínimo ou máximo local ocorre em um ponto crítico. Mediante essas informações considere a função f(x) = 7x² + 4x e assinale a alternativa que forneça o(s) ponto(s) crítico(s) de f(x):
A) 14.
B) 0 e – 4/7.
C) 2/7.
D) – 2/7.
E) 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função $ f(x) = 7x^2 + 4x $ e precisa encontrar os pontos críticos dela. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Nesse caso, como estamos lidando com um polinômio, a derivada sempre existe. Então, nosso foco vai ser encontrar onde a derivada é igual a zero. Pra isso, vamos usar o Teste da Derivada Primeira, que ajuda a identificar onde a função está crescendo ou decrescendo e também os pontos de mínimo ou máximo local.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = 7x^2 + 4x $. A derivada nos diz a taxa de variação da função em cada ponto. Para derivar, usamos a regra básica da derivação:
f(x) = 7x^2 + 4x
Derivando cada termo:
f'(x) = ddx(7x^2) + ddx(4x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = 14x + 4 $, vamos encontrar onde ela é igual a zero. Esses pontos são os críticos da função.
f'(x) = 14x + 4

Passo 4

Resolvendo a equação para $ x $:
x

Resposta

O ponto crítico da função $ f(x) = 7x^2 + 4x $ é $ x = -\frac{2}{7} $.
Alternativa D) – 2/7.

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