Para certas molas, a constante elástica © depende do diâmetro médio da circunferência da mola (D), do número de espirais úteis (N), do diâmetro (d) do fio de metal do qual é formada a mola e do módulo de elasticidade do material (G). A fórmula evidencia essas relações de dependência. C=G.d48.D3.N. O dono de uma fábrica possui uma mola M1 em um de seus equipamentos, que tem características D1, d1, N1 e G1, com uma constante elástica C1. Essa mola precisa ser substituída por outra, M2, produzida com outro material e com características diferentes, bem como uma nova constante elástica C2, da seguinte maneira:
I) D2=D13 ;
II) d2=3d1;
III) N2=9N1. Além disso, a constante de elasticidade G2 do novo material é igual a 4G1. O valor da constante C2 em função da constante C1 é:
I) D2=D13 ;
II) d2=3d1;
III) N2=9N1. Além disso, a constante de elasticidade G2 do novo material é igual a 4G1. O valor da constante C2 em função da constante C1 é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre molas e como a constante elástica delas (que chamamos de $ C
D
N
d
G $) influenciam nessa constante. A fórmula que liga tudo isso é $ C = G \cdot d^4 \cdot D^3 \cdot N
C2
C1 $) quando mudamos algumas dessas características.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada mudança vai fazer na fórmula. A nova mola $ M2 $ tem:
- $ D2 = \frac{D1}{3} $ (o diâmetro médio é dividido por 3)
- $ d2 = 3d1 $ (o diâmetro do fio é triplicado)
- $ N2 = 9N1 $ (o número de espirais é multiplicado por 9)
- $ G2 = 4G1 $ (o módulo de elasticidade é quadruplado)
Passo 3
Agora, vamos substituir essas novas características na fórmula da constante elástica para $ C2 $:
Substituindo cada variável:
Passo 4
Vamos calcular cada parte passo a passo:
- $ (3d1)^4 = 3^4 \cdot d1^4 = 81d1^4 $
- $ \left(\frac{D1}{3}\right)^3 = \frac{D13}{33} = \frac{D1^3}{27} $
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos simplificar os números:
- $ 81 \div 27 = 3 $
- $ 4 \times 3 = 12 $
- $ 12 \times 9 = 108 $
Então:
Passo 6
Lembrando que a constante elástica original $ C1 = G1 \cdot d1^4 \cdot D1^3 \cdot N1 $, podemos substituir:
Resposta
O valor da constante $ C2 $ é 108 vezes a constante $ C1 $, ou seja: