As placas dos veículos atuais são formadas por 3 letras seguidas de quatro algarismos. Considerando o alfabeto com 26 letras, quantas placas distintas podem ser fabricadas de modo que algarismos pares e ímpares intercalados?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as placas de veículos que têm 3 letras seguidas de 4 números. O alfabeto tem 26 letras. Precisamos descobrir quantas placas diferentes podem ser feitas se os números têm que alternar entre pares e ímpares. Para resolver isso, vamos usar conceitos de contagem e combinações, além de entender como funcionam os números pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as possibilidades para as letras. Como cada placa tem 3 letras e cada letra pode ser qualquer uma das 26, usamos multiplicação:
26 times 26 times 26 = 26^3

Passo 3

Agora, vamos para os números. Temos 4 algarismos, e eles precisam intercalar entre pares e ímpares. Vamos considerar duas situações:
  1. O primeiro número é par.
  2. O primeiro número é ímpar.
Vamos calcular cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1: O primeiro número é par
Números pares disponíveis: 0, 2, 4, 6, 8 (total de 5)
Números ímpares disponíveis: 1, 3, 5, 7, 9 (total de 5)
A sequência seria: par, ímpar, par, ímpar
Então, as possibilidades são:
5 times 5 times 5 times 5 = 5^4

Passo 5

Caso 2: O primeiro número é ímpar
A sequência seria: ímpar, par, ímpar, par
As possibilidades são:
5 times 5 times 5 times 5 = 5^4

Passo 6

Como as duas situações são mutuamente exclusivas, somamos as possibilidades dos dois casos:
5^4 + 5^4 = 2 times 5^4

Passo 7

Agora, vamos calcular o total de placas possíveis multiplicando as possibilidades das letras pelas dos números:
26^3 times 2 times 5^4

Passo 8

Calculando os valores:
26^3 = 17.576
5^4 = 625
2 times 625 = 1.250
17.576 times 1.250 = 21.970.000

Resposta

Podem ser fabricadas 21.970.000 placas distintas com as condições dadas.

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