Obtenha soluções particulares para as equações a seguir. Mostre as etapas da derivação, começando com a solução geral ( L, R, b são constantes).
d r / d theta=b[(d r / d theta) cos theta+r sen theta], r(12 pi)=pi, 0<b<1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
d rdtheta = bl[d rdthetacostheta + rsinthetar]
com condição inicial rl(tfracpi2r)=pi e constante 0<b<1.
O conteúdo é separação de variáveis numa ODE linear em r.

Passo 2

Isolamos tfracdrdtheta em um só lado. Da equação inicial:
drdtheta - bcostheta,drdtheta = b,rsintheta
logo
l(1 - bcosthetar)drdtheta = b,rsintheta

Passo 3

Fazemos a separação de variáveis:
1r,dr = bsintheta,1 - bcostheta,,dtheta

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo fica
integral 1r,dr = ln|r| + C1,
e no direito usamos a substituição
u = 1 - bcostheta, du = bsintheta,dtheta,
ficando
integral bsintheta1 - bcostheta,dtheta = integral duu = ln|u| + C2

Passo 5

Igualando integrais e reunindo constantes ( C=C2-C1) temos
ln|r| = lnl|1 - bcosthetar| + C Longrightarrow r = Kl(1 - bcosthetar),
onde K=e^C é constante arbitrária.

Passo 6

Usamos a condição inicial rl(tfracpi2r)=pi. Como cos!tfracpi2=0,
pi = rl(tfracpi2r) = Kl(1 - bcdot 0r) = K,
logo K=pi. Assim a solução particular é
r(theta) = pil(1 - bcosthetar)

Resposta

r(theta) = pil(1 - bcosthetar)

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