Alice tomou emprestada a quantia de 10.000,00 UM de Alicia. O prazo da operação foi de um semestre, restituindo para a credora 10.583,71 UM como forma de liquidação da dívida. Determine a taxa efetiva mensal contratada na operação.
(2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a Alice pegou emprestado 10.000,00 UM da Alicia e, após seis meses, devolveu 10.583,71 UM. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a taxa de juros efetiva mensal que foi combinada nessa operação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de juros compostos, que nos permitem calcular o crescimento do valor emprestado ao longo do tempo com uma taxa de juros aplicada mensalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula dos juros compostos, que é:
FV = PV times (1 + i)^n
Onde:
  • $ FV $ é o valor futuro, ou seja, o quanto vai ser pago no final.
  • $ PV $ é o valor presente, ou seja, o valor emprestado inicialmente.
  • $ i $ é a taxa de juros mensal que queremos encontrar.
  • $ n $ é o número de períodos, que nesse caso são os meses.

Passo 3

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
  • $ FV = 10.583,71 $ UM
  • $ PV = 10.000,00 $ UM
  • $ n = 6 $ meses
Então:
FV = 10.583,71

Passo 4

Agora, precisamos isolar a taxa de juros $ i $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 10.000:
i
10.583,7110.000 = (1 + i)^6
Em seguida, tiramos a raiz sexta de ambos os lados para resolver para $ 1 + i $:
1,058371 = (1 + i)^6

Passo 5

Calculando a raiz sexta:
1 + i approx 1,0095
Subtraindo 1 de ambos os lados para encontrar $ i $:
i
Convertendo para porcentagem:
i approx 0,0095

Resposta

A taxa efetiva mensal contratada na operação foi de aproximadamente 0,95% ao mês.

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