Alice tomou emprestada a quantia de 10.000,00 UM de Alicia. O prazo da operação foi de um semestre, restituindo para a credora 10.583,71 UM como forma de liquidação da dívida. Determine a taxa efetiva mensal contratada na operação.
(2,0 pontos)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a Alice pegou emprestado 10.000,00 UM da Alicia e, após seis meses, devolveu 10.583,71 UM. Nosso objetivo aqui é descobrir qual foi a taxa de juros efetiva mensal que foi combinada nessa operação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de juros compostos, que nos permitem calcular o crescimento do valor emprestado ao longo do tempo com uma taxa de juros aplicada mensalmente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula dos juros compostos, que é:
Onde:
- $ FV $ é o valor futuro, ou seja, o quanto vai ser pago no final.
- $ PV $ é o valor presente, ou seja, o valor emprestado inicialmente.
- $ i $ é a taxa de juros mensal que queremos encontrar.
- $ n $ é o número de períodos, que nesse caso são os meses.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
- $ FV = 10.583,71 $ UM
- $ PV = 10.000,00 $ UM
- $ n = 6 $ meses
Então:
Passo 4
Agora, precisamos isolar a taxa de juros $ i $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 10.000:
Em seguida, tiramos a raiz sexta de ambos os lados para resolver para $ 1 + i $:
Passo 5
Calculando a raiz sexta:
Subtraindo 1 de ambos os lados para encontrar $ i $:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A taxa efetiva mensal contratada na operação foi de aproximadamente 0,95% ao mês.