Hidelbrando possui uma oficina mecânica e se especializou na compra à vista de veículos usados para futura revenda também à vista. Ele adquire automóveis com problemas mecânicos, elétricos e/ou de lataria. Restaura o veículo e adota a política de majorar o valor em 25% sobre o custo de aquisição para cobrir as despesas de reparo e gerar ganho no empreendimento. Um dado automóvel foi comercializado pelo preço de 100.000,00 UM, após sete meses da aquisição. Hidelbrando gastou 7.056,00 UM na restauração desse automóvel, logo após a compra. Pede-se para achar:
A taxa efetiva mensal de juros ganha nessa operação.
(2,0 pontos)
A taxa efetiva mensal de juros ganha nessa operação.
(2,0 pontos)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão nos apresenta: Hidelbrando compra um veículo usado, gasta 7.056,00 UM na restauração e depois vende o veículo por 100.000,00 UM após sete meses. O objetivo é descobrir qual foi a taxa de juros efetiva mensal obtida nessa operação.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de Juros Compostos, que nos ajudam a calcular a taxa de retorno de um investimento ao longo do tempo.
O que precisamos para resolver:
- Valor inicial investido (custo de aquisição + restauração)
- Valor final obtido com a venda
- Número de períodos (meses)
Passo 2
Primeiro, precisamos determinar o valor inicial investido por Hidelbrando. Esse valor inclui o custo de aquisição do veículo mais o gasto com a restauração.
Vamos chamar o custo de aquisição de $ C_a
C_r = 7.056,00 , UM $.
Segundo a política de Hidelbrando, ele marca o valor de venda com um aumento de 25% sobre o custo de aquisição para cobrir despesas e obter lucro. Portanto:
Sabemos que o preço de venda foi de 100.000,00 UM, então:
Resolvendo para $ C_a $:
Portanto, o custo de aquisição do veículo foi de 80.000,00 UM.
Passo 3
Agora, calculamos o valor total investido:
Esse é o valor que Hidelbrando investiu inicialmente na compra e restauração do veículo.
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de juros efetiva mensal ($ i $) que, aplicada ao valor investido durante sete meses, resulta no valor de venda.
A fórmula dos juros compostos é:
Onde:
- $ FV $ = Valor Futuro (100.000,00 UM)
- $ PV $ = Valor Presente (87.056,00 UM)
- $ i $ = Taxa de juros mensal
- $ n $ = Número de períodos (7 meses)
Substituindo os valores:
Passo 5
Isolamos $ (1 + i)^7 $:
Agora, para encontrar $ 1 + i $, tiramos a raiz sétima de ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Resposta
A taxa efetiva mensal de juros ganha nessa operação foi de aproximadamente 2,08%.