Hidelbrando possui uma oficina mecânica e se especializou na compra à vista de veículos usados para futura revenda também à vista. Ele adquire automóveis com problemas mecânicos, elétricos e/ou de lataria. Restaura o veículo e adota a política de majorar o valor em 25% sobre o custo de aquisição para cobrir as despesas de reparo e gerar ganho no empreendimento. Um dado automóvel foi comercializado pelo preço de 100.000,00 UM, após sete meses da aquisição. Hidelbrando gastou 7.056,00 UM na restauração desse automóvel, logo após a compra. Pede-se para achar:
A taxa efetiva mensal de juros ganha nessa operação.
(2,0 pontos)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos apresenta: Hidelbrando compra um veículo usado, gasta 7.056,00 UM na restauração e depois vende o veículo por 100.000,00 UM após sete meses. O objetivo é descobrir qual foi a taxa de juros efetiva mensal obtida nessa operação.
Conteúdo da matéria: Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de Juros Compostos, que nos ajudam a calcular a taxa de retorno de um investimento ao longo do tempo.
O que precisamos para resolver:
  • Valor inicial investido (custo de aquisição + restauração)
  • Valor final obtido com a venda
  • Número de períodos (meses)

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o valor inicial investido por Hidelbrando. Esse valor inclui o custo de aquisição do veículo mais o gasto com a restauração.
Vamos chamar o custo de aquisição de $ C_a Ca çã C_r = 7.056,00 , UM $.
Segundo a política de Hidelbrando, ele marca o valor de venda com um aumento de 25% sobre o custo de aquisição para cobrir despesas e obter lucro. Portanto:
Cr = 7.056,00 , UM ç
Sabemos que o preço de venda foi de 100.000,00 UM, então:
Preço de Venda = Ca times (1 + 0,25) = Ca times 1,25
Resolvendo para $ C_a $:
100.000 = Ca times 1,25
Portanto, o custo de aquisição do veículo foi de 80.000,00 UM.

Passo 3

Agora, calculamos o valor total investido:
Valor Total Investido = Ca + Cr = 80.000 + 7.056 = 87.056 , UM
Esse é o valor que Hidelbrando investiu inicialmente na compra e restauração do veículo.

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de juros efetiva mensal ($ i $) que, aplicada ao valor investido durante sete meses, resulta no valor de venda.
A fórmula dos juros compostos é:
i
Onde:
  • $ FV $ = Valor Futuro (100.000,00 UM)
  • $ PV $ = Valor Presente (87.056,00 UM)
  • $ i $ = Taxa de juros mensal
  • $ n $ = Número de períodos (7 meses)
Substituindo os valores:
FV = PV times (1 + i)^n

Passo 5

Isolamos $ (1 + i)^7 $:
(1 + i)^7
Agora, para encontrar $ 1 + i $, tiramos a raiz sétima de ambos os lados:
(1 + i)^7 = 100.00087.056 approx 1,1488
Subtraindo 1 de ambos os lados:
1 + i

Resposta

A taxa efetiva mensal de juros ganha nessa operação foi de aproximadamente 2,08%.

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