Um alimento sólido está sendo resfriado em uma lata cilindrica de 2 cm de diâmetro e 3 cm de espessura. O fluido de resfriamento é a água fria a 2^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura inicial do alimento sólido é 95 { }^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de transferência de calor por convecção é 200 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2 \circ} \mathrm{C}.
a. Determine a temperatura no centro geométrico após 3 h . As propriedades térmicas do alimento sólido sào: k=0,36 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ; \rho=950 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; C p=3,9 \mathrm{KJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado descreve um resfriamento transiente de um sólido em forma de cilindro de diâmetro D=2{,}0\\ \mathrm{cm} (raio r_{0}=1{,}0\\ \mathrm{cm}) e altura (espessura) L=3{,}0\\ \mathrm{cm}. A temperatura inicial é T_{i}=95\,^\circ\mathrm{C}, o fluido externo está a T_{\infty}=2\,^\circ\mathrm{C} e o coeficiente de convecção é h=200\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}. As propriedades térmicas do alimento são
k =0{,}36\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}, \quad \rho =950\\ \mathrm{kg/m^3}, \quad c_p =3{,}9\\ {\mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}}=3900\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.
O objetivo é encontrar a temperatura no centro geométrico (eixo do cilindro) após t=3{,}0\\ \mathrm{h}=10800\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Calcule a difusividade térmica \alpha e o número de Biot:
\alpha =\frac{k}{\rho\,c_p} =\frac{0{,}36}{950\cdot3900} \approx9{,}7\times10^{-8}\\ \mathrm{m^2/s},
o comprimento característico para cilindro radial é L_c=r_0=0{,}01\\ \mathrm{m}, logo
\mathrm{Bi} =\frac{h\,L_c}{k} =\frac{200\cdot0{,}01}{0{,}36} \approx5{,}56 \;>\;0{,}1,
o que indica que não podemos usar diretamente o modelo de capacitância concentrada (lumped).

Passo 3

Calcule o número de Fourier adimensionalizado para um cilindro infinito (usando L_c=r_0):
\mathrm{Fo} =\frac{\alpha\,t}{r_0^2} =\frac{9{,}7\times10^{-8}\times10800}{(0{,}01)^2} \approx10{,}5.

Passo 4

Para \mathrm{Bi}>0{,}1 e \mathrm{Fo}\gtrsim1 usamos a solução em série para o centro de um cilindro infinito com convecção na superfície:
\frac{T(0,t)-T_{\infty}}{T_i-T_{\infty}} =\sum_{n=1}^{\infty} A_n\, \exp\bigl(-\zeta_n^2\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde \zeta_n são as raízes da equação \zeta_n J_1(\zeta_n)=\mathrm{Bi}\,J_0(\zeta_n) e A_n os coeficientes correspondentes. Em prática costuma-se aproximar mantendo só o primeiro termo n=1:
\frac{T(0,t)-T_{\infty}}{T_i-T_{\infty}} \approx A_1\, \exp\bigl(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}\bigr).

Passo 5

A partir de tabelas padrão para cilindro com \mathrm{Bi}=5{,}56 obtém-se aproximadamente \zeta_1\approx1{,}90 e A_1\approx0{,}88. Então
\frac{T(0,t)-2}{95-2} \approx0{,}88\, \exp\bigl(-1{,}90^2\times10{,}5\bigr) =0{,}88\, \exp(-37{,}8) \approx0.
Logo \,T(0,t)\approx T_{\infty}=2\,^\circ\mathrm{C} com extrema precisão.

Resposta

A temperatura no centro geométrico após 3 h é praticamente
\boxed{T\approx2{,}0\,^\circ\mathrm{C}.}

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