Purê de batatas cozido é resfriado em bandejas em uma unidade de refrigeração com ar a 2^{\circ} \mathrm{C} soprado em alta velocidade sobre a superficie do produto. A profundidade do produto é de 30 mm e a temperatura inicial 95{ }^{\circ} \mathrm{C}. O produto tem k=0,37 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ; \rho=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; C p=3,7 \mathrm{KJ} / \mathrm{kgK}. Pressupondo uma resistência insignificante à transferência de calor na superficie, calcule a temperatura do produto após 30 min .

Passo 1

O enunciado descreve o resfriamento transitório de um purê de batatas numa bandeja com espessura total de 30 mm, cujas superfícies estão imediatamente à temperatura do ar frio de 2{}^{\circ}\mathrm{C} (resistência convectiva desprezível). A temperatura inicial do purê é 95{}^{\circ}\mathrm{C} e suas propriedades são
k = 0,37\;\mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \rho = 1000\;\mathrm{kg/m^3},\quad C_p = 3700\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Queremos a temperatura média do purê após 30 min (1800 s).

Passo 2

Calcular a difusividade térmica \alpha do purê, definida por
\alpha = \frac{k}{\rho\,C_p}.
Substituindo os valores,
\alpha = \frac{0{,}37}{1000 \times 3700} = 1{,}0\times10^{-7}\;\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Modelamos o purê como uma lâmina infinita de meia-espessura
L = \frac{30\;\mathrm{mm}}{2} = 0{,}015\;\mathrm{m},
com temperatura inicial uniforme T_i = 95{}^{\circ}\mathrm{C} e superfícies mantidas em T_\infty = 2{}^{\circ}\mathrm{C}. A temperatura média adimensional é dada pela série
\frac{\bar\theta}{\theta_i} = \frac{\bar T - T_\infty}{T_i - T_\infty} = \frac{8}{\pi^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2} \exp\!\Bigl[-\frac{(2n+1)^2\pi^2\,\alpha\,t}{4L^2}\Bigr].

Passo 4

Para estimar rapidamente, usamos apenas o primeiro termo n=0, pois os termos seguintes são muito menores:
\frac{\bar\theta}{\theta_i} \approx \frac{8}{\pi^2}\exp\!\Bigl[-\frac{\pi^2\,\alpha\,t}{4L^2}\Bigr].

Passo 5

Calcular o argumento do exponencial:
\beta = \frac{\pi^2\,\alpha\,t}{4L^2} = \frac{\pi^2 \times 1{,}0\times10^{-7}\times1800}{4\times(0{,}015)^2} \approx 1{,}98.
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\frac{\bar\theta}{\theta_i} \approx \frac{8}{\pi^2}e^{-1{,}98} \approx 0{,}8106 \times 0{,}1385 \approx 0{,}1123.
Então a temperatura média é
\bar T = T_\infty + \frac{\bar\theta}{\theta_i}(T_i - T_\infty) = 2 + 0{,}1123\times(95 - 2) \approx 2 + 10{,}44 \approx 12{,}4{}^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura média do purê após 30 min é aproximadamente 12{,}4{}^{\circ}\mathrm{C}.

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