Salsichas de diâmetro 2 cm estão acondicionadas inicialmente em uma geladeira. A temperatura das salsichas é uniforme e igual a 7^{\circ} \mathrm{C}. As propriedades da salsicha são: k=0,50 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} ; \rho=880 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; C p=3,35 \mathrm{KJ} / \mathrm{kgK}. As salsichas são imersas em um tacho com água a 98^{\circ} \mathrm{C} e consideradas cozidas quando a temperatura em seu centro atinge 80^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente de convecção entre a salsicha e a água é 100 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}. Quanto tempo a salsicha deverá ficar imersa para ser considerada cozida?

Passo 1

O enunciado trata de condução transiente de calor em uma salsicha modelada como um cilindro infinito de raio R=1{,}0\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m}. A salsicha, com temperatura inicial uniforme \(T_i=7^\circ\text{C}), é submersa em água a \(T_\infty=98^\circ\text{C}) e considera-se cozida quando a temperatura no centro alcança \(T(0,t)=80^\circ\text{C}). As propriedades térmicas são
k = 0{,}50\\ \mathrm{W/mK},\quad \rho = 880\\ \mathrm{kg/m^3},\quad c_p = 3{,}35\times10^3\\ \mathrm{J/(kg\,K)},
e o coeficiente convectivo é \(h=100\\ \mathrm{W/(m^2K)}). Vamos usar a solução unidimensional radial para cilindro infinito e adotar a aproximação de primeiro termo da série de Bessel.

Passo 2

Calcule o número de Biot para avaliar a aplicabilidade da hipótese de capacitância concentrada:
\mathrm{Bi}=\frac{h R}{k} =\frac{100\cdot0{,}01}{0{,}50} =2{,}0.
Como \mathrm{Bi}>0{,}1, não vale o modelo de corpo único e devemos usar a solução transiente.

Passo 3

A solução para a temperatura central, em forma adimensional, no primeiro termo é
\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} \approx A_1\exp\!\bigl(-\zeta_1^{2}\,\mathrm{Fo}\bigr),
onde
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha\,t}{R^2}, \quad \alpha=\frac{k}{\rho\,c_p}
é o número de Fourier, \(\zeta_1) é a primeira raiz positiva da equação característica
\mathrm{Bi} = \frac{\zeta\,J_1(\zeta)}{J_0(\zeta)},
e
A_1 = \frac{2}{\zeta_1\,J_1(\zeta_1)}
vem da ortogonalidade das funções de Bessel.

Passo 4

Determine \zeta_1 resolvendo numericamente
2 = \frac{\zeta_1\,J_1(\zeta_1)}{J_0(\zeta_1)}.
A solução é aproximadamente
\zeta_1 \approx 1{,}5936.

Passo 5

Calcule a difusividade térmica \alpha:
\alpha = \frac{k}{\rho\,c_p} = \frac{0{,}50}{880 \times 3{,}35\times10^3} \approx 1{,}70\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
E o coeficiente A_1:
A_1 = \frac{2}{\zeta_1\,J_1(\zeta_1)} \approx \frac{2}{1{,}5936 \times 0{,}5819} \approx 2{,}16.

Passo 6

Determine a fração adimensional de aquecimento no centro quando T(0,t)=80^\circ\text{C}:
\theta^* = \frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} = \frac{80 - 98}{7 - 98} = \frac{-18}{-91} \approx 0{,}1978.
Da aproximação de um termo, temos
\theta^* = A_1 \exp(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}) \quad\Longrightarrow\quad \exp(-\zeta_1^2\,\mathrm{Fo}) = \frac{\theta^*}{A_1}.
Logo
t = -\frac{R^2}{\zeta_1^2\,\alpha} \ln\!\Bigl(\frac{\theta^*}{A_1}\Bigr).
Substituindo os valores:
t = -\frac{(0{,}01)^2}{(1{,}5936)^2\,(1{,}70\times10^{-7})} \ln\!\Bigl(\frac{0{,}1978}{2{,}16}\Bigr) \approx 555\\ \mathrm{s}.

Resposta

O tempo de imersão necessário é de aproximadamente 555\\ \mathrm{s}, ou cerca de 9{,}3 minutos.

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