Se \alpha é um ângulo cuja medida está entre 10^{\circ} e 90^{\circ}, então, o resultado da soma infinita
\sum_{n=0}^{+\infty} \operatorname{sen}^{2 n} \alpha=1+\operatorname{sen}^{2} \alpha+\operatorname{sen}^{4} \alpha+\operatorname{sen}^{6} \alpha+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a soma infinita
\sum_{n=0}^{+\infty} \operatorname{sen}^{2n}\alpha = 1 + \operatorname{sen}^{2}\alpha + \operatorname{sen}^{4}\alpha + \operatorname{sen}^{6}\alpha + \cdots
e diz que a medida do ângulo \alpha satisfaz 10^{\circ}<\alpha<90^{\circ}.
O que se pede é o valor dessa soma infinita em função de \alpha.
Informações relevantes dadas:
  • A sequência de termos é 1,\\ \operatorname{sen}^{2}\alpha,\\ \operatorname{sen}^{4}\alpha,\ldots.
  • O expoente cresce de 2n com n=0,1,2,\dots.
  • O ângulo \alpha está entre 10^{\circ} e 90^{\circ}, portanto \operatorname{sen}\alpha é um número real estritamente entre \operatorname{sen}10^{\circ} e 1.

Passo 2

Reconhecimento da estrutura: a soma apresentada é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma geral
\sum_{n=0}^{+\infty} a\,r^{n}=a + ar + ar^{2}+\cdots,
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre termos consecutivos.
Aqui, comparando termo a termo, o primeiro termo é a=1 e a razão é
r=\operatorname{sen}^{2}\alpha,
pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por \operatorname{sen}^{2}\alpha.

Passo 3

Revisão da soma da série geométrica finita (aula rápida): se r\neq 1, a soma parcial dos primeiros N+1 termos é
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} a\,r^{n}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
Demonstração curta (maneira padrão): escreva S_{N}=a+ar+\cdots+ar^{N}. Multiplique por r:
rS_{N}=ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N+1}.
Subtraindo,
S_{N}-rS_{N}=a - ar^{N+1}\quad\Rightarrow\quad S_{N}(1-r)=a(1-r^{N+1}),
daí
S_{N}=a\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.

Passo 4

Passando para a série infinita: se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty. Portanto a soma infinita converge e vale
\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=a\frac{1}{1-r}.
A razão pela qual r^{N+1}\to 0 para |r|<1 é que números cujo valor absoluto é menor que 1 têm potências que tendem a zero (por exemplo, 0{,}5^{N}\to 0 conforme N\to\infty).

Passo 5

Verificação da condição de convergência para o nosso caso: como 10^{\circ}<\alpha<90^{\circ}, temos 0<\operatorname{sen}\alpha<1. Portanto
0<\operatorname{sen}^{2}\alpha<1,
logo |r|<1 está satisfeito e a série geométrica converge.

Passo 6

Aplicando a fórmula com a=1 e r=\operatorname{sen}^{2}\alpha, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\operatorname{sen}^{2n}\alpha=\frac{1}{1-\operatorname{sen}^{2}\alpha}.

Passo 7

Usando a identidade trigonométrica pitagórica básica:
1-\operatorname{sen}^{2}\alpha=\operatorname{cos}^{2}\alpha,
pois \operatorname{sen}^{2}\alpha+\operatorname{cos}^{2}\alpha=1. Assim a soma pode ser escrita como
\frac{1}{1-\operatorname{sen}^{2}\alpha}=\frac{1}{\operatorname{cos}^{2}\alpha}.

Passo 8

Interpretação final e checagem com um exemplo numérico (para te dar confiança): se \alpha=30^{\circ}, então \operatorname{sen}30^{\circ}=\tfrac{1}{2}, a soma seria
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{4}{3},
e \dfrac{1}{\operatorname{cos}^{2}30^{\circ}}=\dfrac{1}{(\sqrt{3}/2)^{2}}=\dfrac{4}{3}. Bate certinho.

Resposta

\dfrac{1}{\operatorname{cos}^{2}\alpha}

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