Se
é um ângulo cuja medida está entre
e
, então, o resultado da soma infinita
Passo 1
O enunciado dá a soma infinita
e diz que a medida do ângulo
satisfaz
.
O que se pede é o valor dessa soma infinita em função de
.
Informações relevantes dadas:
- A sequência de termos é
. - O expoente cresce de
com . - O ângulo
está entre e , portanto é um número real estritamente entre e .
Passo 2
Reconhecimento da estrutura: a soma apresentada é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma geral
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum entre termos consecutivos.
Aqui, comparando termo a termo, o primeiro termo é
e a razão é
pois cada termo é obtido multiplicando o anterior por
.
Passo 3
Revisão da soma da série geométrica finita (aula rápida): se
, a soma parcial dos primeiros
termos é
Demonstração curta (maneira padrão): escreva
. Multiplique por
:
Subtraindo,
daí
Passo 4
Passando para a série infinita: se
, então
quando
. Portanto a soma infinita converge e vale
A razão pela qual
para
é que números cujo valor absoluto é menor que
têm potências que tendem a zero (por exemplo,
conforme
).
Passo 5
Verificação da condição de convergência para o nosso caso: como
, temos
. Portanto
logo
está satisfeito e a série geométrica converge.
Passo 6
Aplicando a fórmula com
e
, obtemos
Passo 7
Usando a identidade trigonométrica pitagórica básica:
pois
. Assim a soma pode ser escrita como
Passo 8
Interpretação final e checagem com um exemplo numérico (para te dar confiança): se
, então
, a soma seria
e
. Bate certinho.