Um micróbio mora na superfície de um plano cartesiano e, nesse instante, ele se encontra na origem desse plano. Ele caminha então, em linha reta, até o ponto (1,0); chegando aí, ele gira 90^{0} no sentido antihorário e caminha, em linha reta até o ponto ( 1,1 / 2 ). O micróbio faz isso indefinidamente, sempre girando 90^{\circ} no sentido antihorário e caminhando em linha reta metade da distância percorrida anteriormente. Desse modo, o micróbio irá se aproximar cada vez mais de um certo ponto do plano. Quais as coordenadas desse ponto?

Passo 1

O enunciado diz que um micróbio começa na origem do plano cartesiano e faz deslocamentos em linha reta seguindo esta regra:
  • Primeiro deslocamento: da origem (0,0) até o ponto (1,0).
  • Depois disso, repetidamente: gira 90^\circ no sentido antihorário e caminha metade da distância que andou no passo anterior.
    O enunciado dá explicitamente que, após o primeiro giro e caminhada, ele chega em (1,\tfrac{1}{2}).
    O que a questão pede: determinar as coordenadas do ponto do plano ao qual o micróbio se aproxima quando o processo é repetido indefinidamente (ou seja, o limite da sequência de posições).
Informações relevantes do enunciado:
  • Posição inicial: (0,0).
  • Primeiro deslocamento (vetor) até (1,0): deslocamento de magnitude 1 na direção positiva de x.
  • O fator de escala entre comprimentos sucessivos é \tfrac{1}{2}.
  • Cada passo realiza uma rotação de 90^\circ no sentido antihorário em relação à direção anterior.
  • Precisamos somar infinitamente esses deslocamentos para obter a posição limite.

Passo 2

Vamos representar os deslocamentos por vetores e escrever a regra matemática que gera cada um deles.
Defina \mathbf{v}_0 como o primeiro vetor deslocamento (do ponto inicial até (1,0)). Temos
\mathbf{v}_0 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A cada passo aplicamos duas operações ao vetor anterior: rotacionamos 90^\circ antihorário e reduzimos o comprimento pela metade. A rotação de 90^\circ antihorário pode ser representada pela matriz
R = \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},
pois R\begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y\\\ x\end{pmatrix}. Assim a relação entre vetores consecutivos é
\mathbf{v}_{n+1} = \tfrac{1}{2}\,R\,\mathbf{v}_n.]

Passo 3

Usando a relação recursiva do passo anterior, podemos escrever explicitamente \mathbf{v}_n em função de \mathbf{v}_0:
\mathbf{v}_n = \left(\tfrac{1}{2}\right)^n R^n \mathbf{v}_0.
Como R é a rotação de 90^\circ, seus potes se repetem a cada 4 aplicações:
R^0\mathbf{v}_0 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad R^1\mathbf{v}_0 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad R^2\mathbf{v}_0 = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad R^3\mathbf{v}_0 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\quad R^4\mathbf{v}_0 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ \text{etc.}
Portanto os primeiros vetores são:
\mathbf{v}_0=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{4}\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-\tfrac{1}{8}\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_4=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{16}\\[4pt]0\end{pmatrix},\\ \ldots
Note que os componentes x aparecem apenas nos n pares e os y apenas nos n ímpares, com sinais alternando e magnitudes reduzindo por fator \tfrac{1}{4} a cada dois passos.]

Passo 4

A posição final do micróbio após infinitos passos é a soma vetorial de todos os deslocamentos:
\mathbf{P}=\sum_{n=0}^{\infty}\mathbf{v}_n.
Como os componentes x e y não se misturam, somamos separadamente as séries para x e para y.
Para a componente x temos a série (peguei os termos das componentes x listadas no passo anterior):
x = 1 - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{16} - \tfrac{1}{64} + \cdots
Isto é uma série geométrica infinita com primeiro termo a=1 e razão r=-\tfrac{1}{4}. Lembrete sobre séries geométricas: se |r|<1, então
\sum_{k=0}^{\infty} a r^k = \frac{a}{1-r}.
Aqui |r|=\tfrac{1}{4}<1, logo a soma converge e vale
x = \frac{1}{1-(-\tfrac{1}{4})} = \frac{1}{1+\tfrac{1}{4}} = \frac{1}{\tfrac{5}{4}} = \frac{4}{5}.

Passo 5

Agora a componente y. Os termos observados no passo 3 dão:
y = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{32} - \cdots
Também é uma série geométrica com primeiro termo a=\tfrac{1}{2} e mesma razão r=-\tfrac{1}{4}. Aplicando a fórmula da soma:
y = \frac{\tfrac{1}{2}}{1-(-\tfrac{1}{4})} = \frac{\tfrac{1}{2}}{1+\tfrac{1}{4}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{5}{4}} = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4}{5} = \tfrac{2}{5}.
Portanto a soma vetorial dá \mathbf{P}=\bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5}\bigr).

Passo 6

Breve interpretação e checagem intuitiva: as coordenadas estão entre 0 e 1 e fazem sentido pois os deslocamentos vão se anulando parcialmente (sinais alternados) e decaem rapidamente pelo fator \tfrac{1}{2} a cada passo. As somas geométricas convergentes deram \tfrac{4}{5} e \tfrac{2}{5}, confirmando que o micróbio se aproxima desse ponto e fica preso ali no limite.

Resposta

\left(\dfrac{4}{5},\dfrac{2}{5}\right)

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