Um micróbio mora na superfície de um plano cartesiano e, nesse instante, ele se encontra na origem desse plano. Ele caminha então, em linha reta, até o ponto
; chegando aí, ele gira
no sentido antihorário e caminha, em linha reta até o ponto (
). O micróbio faz isso indefinidamente, sempre girando
no sentido antihorário e caminhando em linha reta metade da distância percorrida anteriormente. Desse modo, o micróbio irá se aproximar cada vez mais de um certo ponto do plano. Quais as coordenadas desse ponto?
Passo 1
O enunciado diz que um micróbio começa na origem do plano cartesiano e faz deslocamentos em linha reta seguindo esta regra:
- Primeiro deslocamento: da origem
até o ponto . - Depois disso, repetidamente: gira
no sentido antihorário e caminha metade da distância que andou no passo anterior.
O enunciado dá explicitamente que, após o primeiro giro e caminhada, ele chega em.
O que a questão pede: determinar as coordenadas do ponto do plano ao qual o micróbio se aproxima quando o processo é repetido indefinidamente (ou seja, o limite da sequência de posições).
Informações relevantes do enunciado:
- Posição inicial:
. - Primeiro deslocamento (vetor) até
: deslocamento de magnitude na direção positiva de . - O fator de escala entre comprimentos sucessivos é
. - Cada passo realiza uma rotação de
no sentido antihorário em relação à direção anterior. - Precisamos somar infinitamente esses deslocamentos para obter a posição limite.
Passo 2
Vamos representar os deslocamentos por vetores e escrever a regra matemática que gera cada um deles.
Defina
como o primeiro vetor deslocamento (do ponto inicial até
). Temos
A cada passo aplicamos duas operações ao vetor anterior: rotacionamos
antihorário e reduzimos o comprimento pela metade. A rotação de
antihorário pode ser representada pela matriz
pois
. Assim a relação entre vetores consecutivos é
Passo 3
Usando a relação recursiva do passo anterior, podemos escrever explicitamente
em função de
:
Como
é a rotação de
, seus potes se repetem a cada 4 aplicações:
Portanto os primeiros vetores são:
Note que os componentes
aparecem apenas nos
pares e os
apenas nos
ímpares, com sinais alternando e magnitudes reduzindo por fator
a cada dois passos.]
Passo 4
A posição final do micróbio após infinitos passos é a soma vetorial de todos os deslocamentos:
Como os componentes
e
não se misturam, somamos separadamente as séries para
e para
.
Para a componente
temos a série (peguei os termos das componentes
listadas no passo anterior):
Isto é uma série geométrica infinita com primeiro termo
e razão
. Lembrete sobre séries geométricas: se
, então
Aqui
, logo a soma converge e vale
Passo 5
Agora a componente
. Os termos observados no passo 3 dão:
Também é uma série geométrica com primeiro termo
e mesma razão
. Aplicando a fórmula da soma:
Portanto a soma vetorial dá
.
Passo 6
Breve interpretação e checagem intuitiva: as coordenadas estão entre
e
e fazem sentido pois os deslocamentos vão se anulando parcialmente (sinais alternados) e decaem rapidamente pelo fator
a cada passo. As somas geométricas convergentes deram
e
, confirmando que o micróbio se aproxima desse ponto e fica preso ali no limite.