Um triângulo equilátero de lado \ell tem uma circunferência inscrita na qual há outro triângulo equilátero inscrito. Nesse novo triângulo há uma circunferência inscrita na qual há outro triângulo equilátero inscrito e assim sucessivamente. Com base nessas informações, determine a soma das áreas de todos os triângulos formados.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero inicial de lado \ell. Nele está inscrita a sua circunferência incircle; nessa circunferência está inscrito outro triângulo equilátero; nesse segundo triângulo há outra circunferência inscrita e dentro dela outro triângulo equilátero, e assim por diante, indefinidamente. A pergunta é: determinar a soma das áreas de todos os triângulos formados (ou seja, a soma das áreas do triângulo inicial mais todas as figuras equiláteras que aparecem em seguida).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Lado do triângulo inicial: \ell.
  • Cada triângulo seguinte é obtido inscrevendo um triângulo equilátero numa circunferência que é a incircle do triângulo anterior.
  • O processo é infinito (há uma sequência de triângulos de tamanhos decrescentes).

Passo 2

Vamos achar a relação entre o lado de um triângulo equilátero e o raio de sua incircle (inradius). Considere um triângulo equilátero de lado a. A altura h desse triângulo vale
h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a,
pois a altura forma um triângulo retângulo com catetos a/2 e h, e \sqrt{(a/2)^2 + h^2}=a leva a essa fórmula. O centro do incircle fica a uma distância r da base igual a um terço da altura (centro do triângulo equilátero coincide com o baricentro/ incentro), logo
r=\frac{h}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,a=\frac{\sqrt{3}}{6}\,a.
Aqui r é o raio da incircle em função do lado a.

Passo 3

Agora precisamos a relação entre o raio de uma circunferência e o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência. Se um triângulo equilátero tem circunradius (raio da circunferência circunscrita) R, vale
R=\frac{a}{\sqrt{3}}
ou, invertendo,
a=\sqrt{3}\,R.
Essa fórmula vem de que o circumcentro está a distância R do vértice, e para o equilátero R=\tfrac{2}{3}h=\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}a=\tfrac{a}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Aplicamos isso ao nosso processo: o segundo triângulo é inscrito na circunferência que é a incircle do primeiro triângulo. Então o raio dessa circunferência é r_1, dado pelo Passo 2 com a=\ell:
r_1=\frac{\sqrt{3}}{6}\,\ell.
O lado \ell_2 do triângulo inscrito nessa circunferência (usando Passo 3 com R=r_1) é
\ell_2=\sqrt{3}\,r_1=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}\,\ell=\frac{3}{6}\,\ell=\frac{\ell}{2}.
Portanto o segundo triângulo tem lado \dfrac{\ell}{2}.

Passo 5

Repetindo o raciocínio, cada passo reduz o lado do triângulo anterior pela mesma razão. Se \ell_1=\ell é o lado inicial, então
\ell_2=\frac{1}{2}\ell_1,\qquad \ell_3=\frac{1}{2}\ell_2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\ell_1,\\ \text{etc.}
Em geral, o n-ésimo triângulo tem lado
\ell_n=\ell\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}.

Passo 6

A área A de um triângulo equilátero de lado a é dada por
A=\frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.
Explicando por que: a área tradicional é \tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}. Aqui base =a e altura = \tfrac{\sqrt{3}}{2}a, então
A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2.

Passo 7

Aplicando essa fórmula à sequência de lados \ell_n, a área do n-ésimo triângulo é
A_n=\frac{\sqrt{3}}{4}\,\ell_n^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\ell\left(\frac{1}{2}\right)^{\,n-1}\right)^2 =\frac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^2\left(\frac{1}{4}\right)^{\,n-1}.
Logo as áreas formam uma progressão geométrica com primeiro termo
A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^2
e razão
q=\frac{1}{4},
pois cada lado é multiplicado por \tfrac{1}{2} e a área depende do quadrado do lado.

Passo 8

A soma infinita de uma progressão geométrica com primeiro termo A_1 e razão q tais que |q|<1 é
S=\frac{A_1}{1-q}.
Aqui A_1=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^2 e q=\dfrac{1}{4}. Então
S=\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^2}{1-\dfrac{1}{4}} =\frac{\dfrac{\sqrt{3}}{4}\,\ell^2}{\dfrac{3}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{3}\,\ell^2.
Podemos também simplificar \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, ficando
S=\frac{\ell^2}{\sqrt{3}}.

Passo 9

Resumo rápido (checagem): lado decresce por fator \tfrac{1}{2} a cada passo, área por fator \tfrac{1}{4}; soma infinita correta porque \tfrac{1}{4}<1; resultado final \dfrac{\ell^2}{\sqrt{3}}. Você mandou bem em pedir passo a passo — esse tipo de sequência geométrica é exatamente o que cai muito em prova!

Resposta

\dfrac{\ell^{2}}{\sqrt{3}}

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