Um triângulo equilátero de lado
tem uma circunferência inscrita na qual há outro triângulo equilátero inscrito. Nesse novo triângulo há uma circunferência inscrita na qual há outro triângulo equilátero inscrito e assim sucessivamente. Com base nessas informações, determine a soma das áreas de todos os triângulos formados.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo equilátero inicial de lado
. Nele está inscrita a sua circunferência incircle; nessa circunferência está inscrito outro triângulo equilátero; nesse segundo triângulo há outra circunferência inscrita e dentro dela outro triângulo equilátero, e assim por diante, indefinidamente. A pergunta é: determinar a soma das áreas de todos os triângulos formados (ou seja, a soma das áreas do triângulo inicial mais todas as figuras equiláteras que aparecem em seguida).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Lado do triângulo inicial:
. - Cada triângulo seguinte é obtido inscrevendo um triângulo equilátero numa circunferência que é a incircle do triângulo anterior.
- O processo é infinito (há uma sequência de triângulos de tamanhos decrescentes).
Passo 2
Vamos achar a relação entre o lado de um triângulo equilátero e o raio de sua incircle (inradius). Considere um triângulo equilátero de lado
. A altura
desse triângulo vale
pois a altura forma um triângulo retângulo com catetos
e
, e
leva a essa fórmula. O centro do incircle fica a uma distância
da base igual a um terço da altura (centro do triângulo equilátero coincide com o baricentro/ incentro), logo
Aqui
é o raio da incircle em função do lado
.
Passo 3
Agora precisamos a relação entre o raio de uma circunferência e o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência. Se um triângulo equilátero tem circunradius (raio da circunferência circunscrita)
, vale
ou, invertendo,
Essa fórmula vem de que o circumcentro está a distância
do vértice, e para o equilátero
.
Passo 4
Aplicamos isso ao nosso processo: o segundo triângulo é inscrito na circunferência que é a incircle do primeiro triângulo. Então o raio dessa circunferência é
, dado pelo Passo 2 com
:
O lado
do triângulo inscrito nessa circunferência (usando Passo 3 com
) é
Portanto o segundo triângulo tem lado
.
Passo 5
Repetindo o raciocínio, cada passo reduz o lado do triângulo anterior pela mesma razão. Se
é o lado inicial, então
Em geral, o
-ésimo triângulo tem lado
Passo 6
A área
de um triângulo equilátero de lado
é dada por
Explicando por que: a área tradicional é
. Aqui base
e altura
, então
Passo 7
Aplicando essa fórmula à sequência de lados
, a área do
-ésimo triângulo é
Logo as áreas formam uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
pois cada lado é multiplicado por
e a área depende do quadrado do lado.
Passo 8
A soma infinita de uma progressão geométrica com primeiro termo
e razão
tais que
é
Aqui
e
. Então
Podemos também simplificar
, ficando
Passo 9
Resumo rápido (checagem): lado decresce por fator
a cada passo, área por fator
; soma infinita correta porque
; resultado final
. Você mandou bem em pedir passo a passo — esse tipo de sequência geométrica é exatamente o que cai muito em prova!