Se M_{\alpha}^{\beta}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right), ache
(v)_{\alpha} onde (v)_{\beta}=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado está no contexto de mudança de base. Temos a matriz de passagem de coordenadas de \beta para \alpha, denotada por M_{\alpha}^{\beta}, e as coordenadas de um vetor v na base \beta. Queremos encontrar as coordenadas de v na base \alpha.

Passo 2

A relação fundamental é
(v)_\alpha \;=\; M_{\alpha}^{\beta}\,(v)_\beta.
Escrevendo os dados explicitamente:
M_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad (v)_\beta = \begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora basta multiplicar M_{\alpha}^{\beta} por (v)_\beta componente a componente:
(v)_\alpha = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1) + 1\cdot2 + 0\cdot3 \\[6pt] 0\cdot(-1) + (-1)\cdot2 + 1\cdot3 \\[6pt] 1\cdot(-1) + 0\cdot2 + (-1)\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\[3pt] 1 \\[3pt] -4 \end{pmatrix}.]

Resposta

(v)_\alpha = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ -4\end{pmatrix}.

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