Se M_{\alpha}^{\beta}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right), ache (v)_{\alpha} onde (v)_{\beta}=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right) Passo 1O enunciado está no contexto de mudança de base. Temos a matriz de passagem de coordenadas de \beta para \alpha, denotada por M_{\alpha}^{\beta}, e as coordenadas de um vetor v na base \beta. Queremos encontrar as coordenadas de v na base \alpha. Passo 2A relação fundamental é (v)_\alpha \;=\; M_{\alpha}^{\beta}\,(v)_\beta. Escrevendo os dados explicitamente: M_{\alpha}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad (v)_\beta = \begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{pmatrix}. Passo 3Agora basta multiplicar M_{\alpha}^{\beta} por (v)_\beta componente a componente: (v)_\alpha = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1) + 1\cdot2 + 0\cdot3 \\[6pt] 0\cdot(-1) + (-1)\cdot2 + 1\cdot3 \\[6pt] 1\cdot(-1) + 0\cdot2 + (-1)\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\[3pt] 1 \\[3pt] -4 \end{pmatrix}.] Resposta (v)_\alpha = \begin{pmatrix}1 \\\\ 1 \\\\ -4\end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosÉ possível encontrar, em: \mathbb{R}^{n}, n+1 vetores LI? Seja \beta um subconjunto de um espaço vetorial V. Mostre que \beta não é base de V se: \beta possui dois vetores múltiplos um do outro Verifique se os seguintes conjuntos V são espaços vetoriais: V=\mathbb{R}^{2}, munido das operações \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, 0\right) e a \cdot(x, y)=(a x, a y) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente: (a) \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 7 & 6\end{array}\right]