Verifique se os seguintes conjuntos V são espaços vetoriais:
V=\mathbb{R}^{2}, munido das operações \left(x_{1}, y_{1}\right)+\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, 0\right) e a \cdot(x, y)=(a x, a y)

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^2 as operações
(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\,0), \qquad a\cdot(x,y) = (a x,\,a y).
Para verificar se \,V é espaço vetorial, basta checar se todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos. Se algum falhar, concluímos que não é.

Passo 2

Tentemos encontrar o vetor zero 0_V=(u,v) tal que, para todo (x,y)\in V,
(x,y)+(u,v) = (x,y).
Pelo definição da soma,
(x,y)+(u,v) = (x+u,\,0)
deve ser igual a (x,y). Assim precisamos de
  1. x+u = x, para todo x, o que impõe u=0.
  2. 0 = y, para todo y, o que é impossível (não vale para y\neq 0).
    Logo, não existe vetor neutro aditivo que funcione para todos os (x,y).

Resposta

O conjunto V com essas operações não é um espaço vetorial, pois falha o axioma da existência do vetor zero.

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