As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções no sistema correspondente:
(a) \left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 3 \\\\ 4 & 2 & 0 \\\\ 0 & 7 & 6\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\\\ 4 & 2 & 0\\\\ 0 & 7 & 6 \end{pmatrix}
e pede que digamos quantas soluções tem o sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Vamos usar conceito de determinante e posto (rank) para decidir se há solução única, infinita ou nenhuma.

Passo 2

Primeiro calculamos o determinante de A para testar invertibilidade. Usando expansão pela primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 7&6\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}4&0\\\ 0&6\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 0&7\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 7&6\end{pmatrix} =2\cdot6-0\cdot7=12,
\det\begin{pmatrix}4&0\\\ 0&6\end{pmatrix} =4\cdot6-0\cdot0=24,
\det\begin{pmatrix}4&2\\\ 0&7\end{pmatrix} =4\cdot7-2\cdot0=28.
Logo
\det(A)=1\cdot12-4\cdot24+3\cdot28 =12-96+84=0.

Passo 3

Como \det(A)=0, a matriz A é singular e não invertível. Isso implica que o posto de A é menor que 3.

Passo 4

Para achar o posto, mostramos que há uma relação linear não trivial entre as linhas. Seja \mathbf{r}_1=(1,4,3), \mathbf{r}_2=(4,2,0), \mathbf{r}_3=(0,7,6). Procuramos escalares c_1,c_2 tais que
c_1\mathbf{r}_1+c_2\mathbf{r}_2=\mathbf{r}_3.
Da terceira componente vem 3c_1+0\cdot c_2=6\Rightarrow c_1=2.
Da primeira componente: 1\cdot2+4c_2=0\Rightarrow c_2=-\tfrac12.
Verifica-se que isso satisfaz também a segunda componente: 4\cdot2+2\cdot(-\tfrac12)=8-1=7.
Logo \mathbf{r}_3=2\mathbf{r}_1-\tfrac12\mathbf{r}_2, provando que \mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 são independentes e \mathbf{r}_3 é combinação linear delas. Portanto
\mathrm{rank}(A)=2.

Passo 5

Como \mathrm{rank}(A)=2<3, o espaço solução do sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0} tem dimensão 3-2=1, ou seja, infinitas soluções não-triviais. Para o sistema não-homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{b} temos duas possibilidades:
  • se \mathbf{b} pertence à imagem de A (posto da matriz aumentada continua 2), há infinitas soluções;
  • se \mathbf{b} não pertence à imagem de A (posto da matriz aumentada sobe para 3), o sistema é inconsistente e não há solução.

Resposta

A matriz é singular ( \det(A)=0) e tem posto 2. Logo o sistema homogêneo tem infinitas soluções e, no caso não-homogêneo, há infinitas soluções se \mathbf{b} for compatível e nenhuma se for inconsistente.

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