Se
[I]_{\alpha^{\prime}}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right] ache:
[v]_{\alpha} onde
[v]_{a^{\prime}}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base de \alpha' para \alpha,
[I]_{\alpha'}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e o vetor coordenadas em \alpha',
[v]_{\alpha'} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
O conteúdo é mudança de base: para achar [v]_{\alpha} basta multiplicar [I]_{\alpha'}^{\alpha} por [v]_{\alpha'}.

Passo 2

Usamos a relação de mudança de base:
[v]_{\alpha} = [I]_{\alpha'}^{\alpha}\,[v]_{\alpha'}.

Passo 3

Calculamos o produto matricial linha a linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+1\cdot2+0\cdot3\\\\ 0\cdot(-1)+(-1)\cdot2+1\cdot3\\\\ 1\cdot(-1)+0\cdot2+1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\\ 1\\\ 2 \end{pmatrix}.

Resposta

[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

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