Quais dos conjuntos de vetores:
I. \{(2,1),(3,0)\}
I. \{(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3)\}
I. \[1-3 x+2 x^{2}, 1+x+4 x^{2}, 1-7 x\]
II. \{(4,1),(-7,-8)\}
II. \{(1,6,4),(2,4,-1),(-1,2,5)\}
II. \{4+6 x+x^{2},-1+4 x+2 x^{2}, 5+2 x-x^{2}\}
a. São base de \mathbb{R}^{2} ?
b. São base de \mathbb{R}^{3} ?
c. São base de P_{2} ?
Passo 1
O enunciado apresenta seis conjuntos de vetores, três rotulados como I e três como II, atuando em espaços distintos:
– I.1 e II.1 em \mathbb{R}^2,
– I.2 e II.2 em \mathbb{R}^3,
– I.3 e II.3 em P_2 (polinômios de grau <=2).
Para cada conjunto, vamos aplicar o critério de base: um conjunto de n vetores em um espaço de dimensão n é base se e somente se for linearmente independente. Verificamos independência via determinantes.
Passo 2
Analisando I.1 \{(2,1),(3,0)\}\subset\mathbb{R}^2.
Montamos a matriz cujas colunas são os vetores e calculamos
Portanto são dependentes e não formam base de P_2.
Resposta
(a) Bases de \mathbb{R}^2: \{(2,1),(3,0)\} e \{(4,1),(-7,-8)\}.
(b) Base de \mathbb{R}^3: \{(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3)\}.
(c) Base de P_2: nenhum dos conjuntos.