Quais dos conjuntos de vetores:
I. \{(2,1),(3,0)\}
I. \{(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3)\}
I. \[1-3 x+2 x^{2}, 1+x+4 x^{2}, 1-7 x\]
II. \{(4,1),(-7,-8)\}
II. \{(1,6,4),(2,4,-1),(-1,2,5)\}
II. \{4+6 x+x^{2},-1+4 x+2 x^{2}, 5+2 x-x^{2}\}
a. São base de \mathbb{R}^{2} ?
b. São base de \mathbb{R}^{3} ?
c. São base de P_{2} ?

Passo 1

O enunciado apresenta seis conjuntos de vetores, três rotulados como I e três como II, atuando em espaços distintos:
– I.1 e II.1 em \mathbb{R}^2,
– I.2 e II.2 em \mathbb{R}^3,
– I.3 e II.3 em P_2 (polinômios de grau <=2).
Para cada conjunto, vamos aplicar o critério de base: um conjunto de n vetores em um espaço de dimensão n é base se e somente se for linearmente independente. Verificamos independência via determinantes.

Passo 2

Analisando I.1 \{(2,1),(3,0)\}\subset\mathbb{R}^2.
Montamos a matriz cujas colunas são os vetores e calculamos
\det\begin{pmatrix} 2 & 3\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} =2\cdot0 - 3\cdot1 = -3 \neq 0.
Logo os vetores são independentes e formam base de \mathbb{R}^2.

Passo 3

Analisando I.2 \{(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3)\}\subset\mathbb{R}^3.
A matriz de coordenadas é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
que é triangular superior. Seu determinante é
1\cdot2\cdot3 = 6 \neq 0,
logo os três vetores são independentes e constituem base de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Analisando I.3 \{\,1-3x+2x^2,\;1+x+4x^2,\;1-7x\}\subset P_2.
Nas coordenadas em relação à base \{1,x,x^2\} temos a matriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -3 & 1 & -7\\\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ -3 & 1 & -7\\\\ 2 & 4 & 0 \end{pmatrix} =1\cdot(1\cdot0 -(-7)\cdot4) -1\cdot(-3\cdot0 -(-7)\cdot2) +1\cdot(-3\cdot4 -1\cdot2) =28 - 14 - 14 = 0.
Como o determinante é zero, os polinômios são linearmente dependentes e não formam base de P_2.

Passo 5

Analisando II.1 \{(4,1),(-7,-8)\}\subset\mathbb{R}^2.
A matriz de colunas é
\begin{pmatrix} 4 & -7\\\\ 1 & -8 \end{pmatrix},
e
\det\begin{pmatrix} 4 & -7\\\\ 1 & -8 \end{pmatrix} =4\cdot(-8) - (-7)\cdot1 = -32 + 7 = -25 \neq 0.
Logo formam base de \mathbb{R}^2.

Passo 6

Analisando II.2 \{(1,6,4),(2,4,-1),(-1,2,5)\}\subset\mathbb{R}^3.
A matriz de colunas é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 6 & 4 & 2\\\\ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix}.
Calculamos
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 6 & 4 & 2\\\\ 4 & -1 & 5 \end{pmatrix} =0,
logo são dependentes e não formam base de \mathbb{R}^3.

Passo 7

Analisando II.3 \{4+6x+x^2,\;-1+4x+2x^2,\;5+2x -x^2\}\subset P_2.
Em coordenadas,
\begin{pmatrix} 4 & -1 & 5\\\\ 6 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix},
e
\det\begin{pmatrix} 4 & -1 & 5\\\\ 6 & 4 & 2\\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} =0.
Portanto são dependentes e não formam base de P_2.

Resposta

(a) Bases de \mathbb{R}^2: \{(2,1),(3,0)\} e \{(4,1),(-7,-8)\}.
(b) Base de \mathbb{R}^3: \{(1,0,0),(2,2,0),(3,3,3)\}.
(c) Base de P_2: nenhum dos conjuntos.

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