Se
[I]_{\alpha^{\prime}}^{\alpha}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1\end{array}\right] ache:
[v]_{\alpha} onde
[v]_{\alpha^{\prime}}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]

Passo 1

Temos a matriz de mudança de base [I]_{\alpha'}^{\alpha} de \alpha' para \alpha e o vetor coordenado em \alpha',
[I]_{\alpha'}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad [v]_{\alpha'} = \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}.
Queremos encontrar [v]_{\alpha}.

Passo 2

A regra de mudança de coordenadas diz que, para o vetor v, suas coordenadas em \alpha são dadas por
[v]_{\alpha} \;=\; [I]_{\alpha'}^{\alpha}\,[v]_{\alpha'}.

Passo 3

Multiplicamos a matriz pela coluna de coordenadas:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+1\cdot2+0\cdot3\\[6pt] 0\cdot(-1)+(-1)\cdot2+1\cdot3\\[6pt] 1\cdot(-1)+0\cdot2+1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.]

Resposta

[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.

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